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Laravel 中的流水线与中间件

2019-02-07T13:48:27+08:00

　　 Web 程序，简明扼要地说，就是个吃网络请求，并吐出响应的东西。 MVC 结构的框架，使用控制器来处理请求，并生成响应。而 Laravel 框架，还使用流水线（Pipeline）来处理传入控制器前的请求，和控制器返回的响应。流水线上的工人，是一个个中间件（Middleware）。它们就像乐高积木，负责单一的行为。或负责控制 Cookie，管理 Session；或负责控制用户的登录验证；又或者控制访问的频率。通过灵活的中间件注册机制，我们可方便地对这些中间件组装和复用。

运行机制

　　如果我们马上打开 Pipeline.php 一定会一头雾水，满脑子退堂鼓声。所以我们得先抛开具体的实现，从一个典型的中间件上，窥一窥流水线的运行机制。

class MyMiddleware
{
	public function handle( \Illuminate\Http\Request$request, callable$next )
	:\Illuminate\Http\Request
	{
		// do something to $request
		
		$response= $next( $request );
		
		// do something to $response
		
		return $response;
	}
}

这是一个典型的中间件类，其 handle 方法接收一个请求和一个叫“下一步”的函数，并返回一个响应。

Laravel 允许我们的中间件返回 mixed，但笔者不推荐这么做。建议的做法是只允许其返回响应对象，并且是“下一步”所返回的那个，而不要新建响应对象。遵循这样的规范，可避免诸如 header 丢失这样的意外发生。

这个“下一步”函数，即执行流水线上的下一步，可能是执行下一个中间件，也可能是执行最终的控制器。总之也是个吃请求，吐响应的东西。从代码的结构看，流水线的上下游，是嵌套的关系。可以形象地表示为：

<Middleware-0>
	<Middleware-1>
		<Middleware-2>
			<Middleware-3>
				<Controller />
			</Middleware-3>
		</Middleware-2>
	</Middleware-1>
</Middleware-0>

一层层的中间件，就像一层层的门卫。越上游的中间件，就可以越早地接触请求，也能越后手地处理响应，总之权利越大。这就是流水线的运行机制，层层向内，再层层向外。

中间件的注册

　　注册中间件有三种方式，其零是全局注册，其一是在路由上注册，其二是在控制器中注册。不同的情况，应当采取不同的方式。全局注册，显而易见，适合那些统揽全局的中间件。例如 Laravel 默认的系统维护中间件，当系统处于维护状态时，它将拦截所有请求。再如强制 HTTPS 的中间件，拦截所有 HTTP 请求，跳转到对应的 HTTPS 请求。而那些作用于一定范围的中间件，则应当在路由上注册。例如登录判断中间件，应当注册于一个路由组上，这个路由组包含了所有用户私有的路由。而不需要登录即可访问的路由，例如登录页面，应放在此组之外。而那些应用于具体个例的中间件，则要具体分析。属于路由的，要在路由上注册。耦合于控制器的，则应在控制器上注册。我们可以如此假设：若该控制器同时注册在多个路由上，此中间件是否都必须要注册。例如一个上传头像的控制器，上面要注册一个内容读取中间件，以读取上传的内容，并弥合 PHP 对 POST 和 PUT 请求的差异；还要注册一个访问频率限制中间件，来避免频繁上传耗费过多服务器带宽。我们假设它同时注册在用户和管理员的路由组下。对于内容读取中间件，不论在哪上传，必然都需要，因此要在控制器中注册。而对于频率限制中间件，则两处可能不同，对管理员的限制可能更宽松。因此要注册在路由上。总地来说，只有少部分中间件，应注册在全局或控制器上，而大部分都适合注册在路由上。

控制中心

　　每个 Laravel 项目中都有一个 \App\Http\Kernel 类，这便是中间件的控制中心。全局中间件在这里注册；中间件权利顺序由这里掌管；在这里，你能为中间件起一个简短的别名，还能将若干中间件打包成一个组，方便一起注册。

namespace App\Http;

class Kernel extends \Illuminate\Foundation\Http\Kernel
{
	protected $middleware= [
		// 在此注册全局中间件
	];
	
	protected $middlewarePriority= [
		// 在此定中间件的义优先级，越靠前的中间件权利越大
	];
	
	protected $routeMiddleware= [
		// 在此定义中间件的别名（$routeMiddleware 这个名字不太合适，别名可不仅在路由中使用）
	];
	
	protected $middlewareGroups= [
		// 在此定义中间件组
		'group_name'=> [
			// 组内中间件
		],
	];
}

一个初始化的 Laravel 项目中，$routeMiddleware 里，官方为我们准备了一些常用的中间件。我们大可奉行拿来主义。而在 $middlewareGroups 中，则预设了 web 和 api 两个组。它们在 \App\Providers\RouteServiceProvider 中使用，分别被注册在各自的路由组上。这只是官方提供的一个范式，根据项目结构不同，我们大可大刀阔斧地改动这个文件，而不必拘泥于 web 与 api 二分天下的固有结构。

小推荐

　　末了，推荐一个包 Laroute，是一个用于 Laravel 的路由工具，同时也是一种路由的语言。可以大幅降低路由文件的语法噪音。作者即是“王婆”本人了。让我们感受一下 Laroute 带来的清爽：

// Routing with PHP
Route::group( [ 'middleware'=>[ 'middleware0', 'middleware1:param', ], ],function(){
	Route::get( '/', 'Home@home' )
		->middleware( 'middleware2' )
		->middleware( 'middleware3:1,60' )
		->name( 'home' )
	;
} );

# Routing with Laroute
: >middleware0 >middleware1:param
	GET / home
		>middleware2
		>middleware3:1,60
		>>Home@home

无穷大与无穷多

2019-02-07T08:46:21+08:00

　　我们将区分无穷大（infitity）、无穷多（infinite many）、潜无穷（potential infinity）三个概念。

　　潜无穷是一种无限增大的趋势，而非一个真正的数。在极限，以及实分析中出现的 +∞ 和 -∞ 便是此种。这是最容易理解的无穷概念，许多人所认识的“无穷大”，事实上就是这种潜无穷。就像无限接近于 0 从未真正达到 0，无限增大也并不能真正达到一个叫无穷大的数，因此称为潜无穷。而今天我们想讨论的，则是与之相对的实无穷（actual infinity）。与潜无穷不同，它们都是实实在在的数。实无穷中，其实又可分为无穷大和无穷多，它们在不同的体系下被定义，一个属于有理数，另一个则属于自然数。数学家们都意识到它们的区别，却很少在命名上进行区分。笔者认为使用不同的名称来区分是十分必要的。

女娲补天之数——∞

　　若女娲研究数学，她一定是那个给复数天空补上 ∞ 的人。人类对数的认识从自然数，有理数到实数，再到复数。在对复数的研究中，发现复数平面是不完整的，上面有一个漏洞。需要补上一个数才能完整，这个数即 ∞。

　　事实上，这个数的引入，完全不必等到那么迟。它就是个由 1 和 0 构成的分数： $\infty=\frac{1}{0}$ 。早在有理数的时代，我们就可以引入并研究 ∞。然而在数学上，这种颠覆常识性的进步总是困难的。数学是这样的一个学科：我们预设一些定义和公理，再用无懈可击的逻辑，从这些公理中推导出各种结论，从而构建一个完美无瑕体系。为了逻辑上的完美无瑕，或者为了符合固有的惯性思维，人们会选择避开那些看起来不合理的事物。例如柯西用有限代替无限，使微积分逻辑完美；如 ZFC 为了躲避罗素悖论，缩进了龟壳里，限定只研究那些“正则”的集合，把那些包含自身的集合排除在外；欧几里得凭着常识预设了第五公设，将几何学钉死在平面上；人们为了避免得到有悖常识的古怪，禁止 0 作为除数…… 然而，常识不应成为数学的枷锁。与物理等自然科学不同，数学不要求其结论与现实世界相符。数学完全可以研究那些现实中根本不存在（至少从未找到过）的事物，比如高维空间、分数维空间，甚至复空间。事实上，一个很普遍的情况是：随着人类对世界认识的进步，那些“没用”的，甚至“不可理喻”的数学，被发现是世界所遵循的真理。例如爱因斯坦揭示了我们的宇宙满足弯曲的黎曼几何，而非“天经地义”的欧几里得几何。曾被认为不存在的虚数，被用于各个领域，尤其是量子力学，表明我们的宇宙天然就是复数的。卡西米尔效应遵循那“不可理喻”的 $1+2+3...=-\frac{1}{12}$ 。题外话至此，希望能说服那些坚持 0 不可作除数，或 ∞ 不是一个数的读者。只要定义明确，逻辑合理，∞ 就可以是一个数，这就是数学。

　　我们解除 0 不作除数的限制。因为任何我们已有的数乘以 0 都得 0，所以 0 除以 0 应得到所有的这些数。一个运算有多个结果，这是一个多值运算。这并非什么新鲜玩意，我们已经接触过多值运算： $2^\frac{1}{2}$ 。它有 $\sqrt{2}$ 、 $-\sqrt{2}$ 两个值。由于三角函数的周期性，反三角函数也有多个结果。为了研究方便，我们通常将多值运算或函数单值化。只取其中一个运算结果。这就需要在众多结果中选择一个合适的结果。对于开方运算，反三角函数等，很容易作出选择。但对于 $\frac{0}{0}$ 选择。在一些情况下，有个唯一恰当的选择，比如： $\frac{\sin(x)}{x}|_{x=0}$ 此时 1 就是最好的选择，可使函数在 0 点解析。另外的一些时候，我们是无法将其单值化的。

　　还是因为任何已知的数乘以 0 都得 0，所以不为 0 的数除以 0 就不等于任何这些数。我们定义一个新的数： $\infty=\frac{1}{0}$ 。可以证明以下结论： $0=\frac{1}{\infty}$ $\infty+z=\infty \;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= \infty$ $\infty \times z=\infty\;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= 0$

　　这个新数像 0 一样具有“坍塌性”。0 和任何有限的数相乘，都会坍塌回 0 本身。而 ∞ 则比 0 有更强的坍塌性，∞ 对乘法和加法都坍塌。这使得我们此次扩充，只需增加一个数，而不似 $i=\sqrt{-1}$ 那次那样带来无数个新数。

　　一个摆在面前的问题是，这个新数 ∞ 应该在实数轴或复平面上的什么位置？我们考察 $\frac{1}{x}$ 在 0 点附近的情况。当 x 从左向右接近 0，函数值将无限增大，看来 ∞ 应该在实数轴正方向无穷远处。可当从右向左接近 0 时，函数值却又无限减小，看来 ∞ 又应该在实数轴负方向无穷远处。不仅是实数轴，从复平面上的其它方向接近 0，我们会发现 ∞ 应该在任何方向的无穷远处。从另一个角度看，乘以不为 0 的任何数都得到自身，从这点看，∞ 应像 0 一样，稳坐正中，不偏向任何方向。唯一的肯能便是，复平面的任何一个方向在无穷远处都交汇于一点，即 ∞ 点。这样的结构，正是一个超级大球。事实上，我们可以将复平面投影到球上：让球的南极点与 0 点重合，从北极点发出射线将球上的点投影到复平面，建立一一对应关系。于是南极点是 0 赤道是复平面单位圆，北极点正是 ∞ 点。这正是复球面。 ∞ 点就像女娲的补天之石，补上了球面顶上的缺口。补天之后，实数轴也变为了一个超级大圆，两端在 ∞ 点相互对接。

　　 ∞ 便是真正的无穷大（infinity），无论再加上多少有限值，都等于自身，不能再增大。作为 0 的倒数，它的相反数为自身，乘以任何非 0 数等于自身。与无穷趋势 +∞ 与 -∞ 不同， ∞ 是真正的数。+∞ 与 -∞ 则只是两个趋近于 ∞ 的方向。同样，我们也可以用 +0 和 -0 表示两个趋近于 0 的方向。

无穷多

　　 ∞ 在定义上是一个分数，而非自然数。不能用于表示个数上的无穷。为表示个数上的无穷，我们需要定义自然数的无穷，我们称之为无穷多（infinite many）。并且，我们希望弄清楚无穷多和无穷大是否等价。

　　我们知道的无穷多有，整数的个数，偶数的个数，有理数的个数，实数的个数，复数的个数，去罗马的路的数量等。这些事物能否比较多少？哪样比较多呢？为此，我们需要定义一个比较事物多少的方式，能用于无穷多个事物的比较方式。

　　让我们回到不会数数的原始部落，酋长不幸虎口遇难。留下二子，他们将通过打猎竞赛来决定谁来继承酋长之位。他们自日出之时外出捕猎野兔，日落之时回到祭坛，谁补的野兔更多，即当选酋长。若一样多，则第二日加赛。由于部落的人不会数数，他们无法像现代人一样，数出野兔的个数再比较。他们只能用一一对应的方式：双方各取一只野兔，摆在祭坛上，然后重复此过程，直到有人的野兔用完。最后谁的野兔还有剩余，则胜出。若二人的野兔同时用完，则为平局。这种方式非常好，我们甚至不需要具体定义数，便可比较两批事物个数的大小。我们就以这种方式来定义整数之间的大小关系。用数学语言，便是：

即：两个集合之间若能建立一一到上的映射，则它们的基数相等；否则，若从 A 到 B 能建立到上映射，则 A 的基数大于 B 的；否则，B 的基数大于 A 的。

现在，我们尝试比较各种无穷多的大小。先是整数和偶数，我们可以很容易构建这样的对应关系：一个整数，对应它二倍的偶数。如图所示：

…	-2	-1	0	1	2	3	…
…	-4	-2	0	2	4	6	…

根据大小关系的定义，整数的数量等于偶数的数量。这是违反直觉的，在我们的常识中，整体应当大于部分。我们审视这个常识。它其实是上面公理在有限数量条件下的推论。在我们将研究范围扩大的时候，有可能不再成立。就像三角形内角和为 π，是欧几里得几何的推论，到了黎曼几何中不再成立。在无穷多的比较中，部分小于等于整体。这就是为什么希尔伯特的旅馆即便住满了，仍能接待新的旅客。同样的方法，我们可以得出，例如自然数、奇数等整数的各种无穷子集，数量都相同。例如整数与自然数的一一对应可为：

0	1	2	3	4	5	…
0	-1	1	-2	2	-3	…

我们记这个整数为 $\aleph_0$ 。

　　我们再看有理数的数量。有理数即分数，可以表示为两个整数之比。我们将其如下排列，并与自然数一一对应：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	…
0/1	1/1	-1/1	1/2	2/1	-1/2	-2/1	1/3	3/1	-1/3	-3/1	1/4	2/3	3/2	4/1	…

这里的排列方法是规律是分子和分母的和为 0、1、-1、2、-2……再剔除可约分的分数。当然，可行的排列方案还有很多。可见有理数的数量是与整数相同的，也为 $\aleph_0$ 。我们也能总结出这样的规律：只要能一个一个列出来的事物，数量都是 $\aleph_0$ 。这样的性质，我们称之为可列性。

　　那么实数的数量是否也一样呢？换句话说，实数是否可列？我们假设存在一个列表，列出所有的实数。我们先将列中的数写为某进制下的小数。现在我们构造一个新的实数，小数点后第一位不同于列表中的第一个实数，小数点后第二位不同于列表中的第二个实数，第三位不同于第三个实数，依此类推。这个新的实数显然不在这个列表之中。与假设矛盾。因此无法构造这样一个列表。实数是不可列的。由于可以建立实数到整数的到上映射，例如取整映射，因此实数数量大于 $\aleph_0$ 。我们记实数的数量数为 $\aleph_1$ 。

　　复数的数量又如何？我们知道它一定不会小于实数的数量，疑问在于是大于还是等于。我们将复数的实部和虚部分别写为某进制下的小数，再将两个小数的按照位数相互穿插，得到一个新的小数。例如 210.12 + i333.33，构造出新数 323130.3132。如此构成映射。每一个复数都能得到唯一的实数；而反过来，每个实数，也能拆开，得到一个复数，构成一一到上的映射。因此，复数与实数一样多。我们还又知道实数与直线上的点是一一对应的，复数则与平面上的点一一对应。这就导致平面上的所有点与直线上所有点一一对应，都为 $\aleph_1$ 。同样的方式，任何有限维空间的点的数量也是 $\aleph_1$ 。

是否存在一个自然数介于 $\aleph_0$ 与 $\aleph_1$ 之间呢？数学家猜测不存在这样的数，但尚未证明之。人们称此命题为连续统假设。与黎曼假设一样，这是数学上又一个重要的猜想。如今数学家已经证明，在 ZFC 框架下，我们不能证明，也不能证伪连续统假设。因此，若想要解决这个问题，必须跳出 ZFC 的龟壳。目前，除非以连续统假设作为研究对象，我们一般选择相信连续统假设，认为 $\aleph_0$ 与 $\aleph_1$ 之间不存在自然数。

　　我们考虑抛硬币游戏。倘若我们抛一个硬币，则得到的结果有两种可能；同时抛两枚硬币，则会有 $2^2=4$ 种可能的结果； n 个硬币，便有 $2^n$ 种可能； $\aleph_0$ 个硬币，便有 $2^{\aleph_0}$ 种可能。这个 $2^{\aleph_0}$ 是什么呢？让我么设想一个二进制小数，有无穷多位，准确地说是 $\aleph_0$ 位。每一个数位，可对应一枚硬币，那么每一种丢硬币的可能结果，便对应上了一个小数，或者说，一个实数。这就证明： $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ 。而 2 进制并非唯一的进制，所以这个 2 我们也能换成其它整数，甚至是 $\aleph_0$ 。我们能扩展这个等式为： $\aleph_1=n^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}$

根据这个规律，我们可以构建更大的无穷多： $\aleph_2=2^{\aleph_1}$ ， $\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}$ , 甚至 $\aleph_{\aleph_0}$ ， $\aleph_{\aleph_1}$ ……

　　通过和丢硬币类似的方法，我们可以得到，函数的数量为 $\aleph_2$ ；泛函的数量为 $\aleph_3$ …… 由于函数对应曲线，去罗马的道路便也有 $\aleph_2$ 条。

　　无穷多与无穷大是不等价的。无穷大只有一个，而无穷多有 $\aleph_0$ 个。无穷大是有理数、实数和复数，能进行复数的任何运算，而无穷多是自然数，只能进行自然数的运算，包括加法、乘法、幂运算、减法（禁止小减大）、整除法（结果不是数，而是整商和余数组成的数对）等。无穷多是所有有限数的公倍数，是和数。

总结

　　有潜无穷和实无穷，潜无穷是无穷增大的趋势，并非真正的无穷。实无穷又有无穷大和无穷多两种，分别以分数和自然数的方式定义，二者不等价。无穷大是 0 的倒数，完善实数轴和复数平面。无穷多作为自然数，其定义离不开集合的概念。有不同层级的无穷多。我们一般认为两个相邻级别的无穷多之间，不存在其它自然数，但尚不能证明。是为连续统假设。无穷大和无穷多不等价，研究连续理论时，关心无穷大。而研究离散理论时，关心无穷多。

复角度的三角函数

2019-01-26T09:17:38+08:00

回顾实三角函数

　　从名字来看，我们有把握肯定，三角函数最初是源自于三角形，也即源自于几何学。而在几何中，三角函数，是一组关于角和边的关系。因此，我们首要的任务，就是找到一个合适的方法，来度量角的大小。

角的度量

　　我们不难发现，角的性质与长度是很像的。我们可以用纸片剪出两个角，拼在一起进行加法，叠在一起比较大小，对叠后沿着边线剪上一刀进行减法，还能用对折的方法将一个角平分，或是几等分。我们尝试用一个圆规，在这些小纸片上画一些弧线，让它们的圆心都在角的定点，并且半径都相同。我们发现，当我们将两个角相拼的时候，弧线也拼成了更长的弧线。将角剪开的时候，弧线也按照相同的比例被切割。看起来，弧线的长短，似乎可以代表角的大小。更严谨一点，即，角的大小，和弧线的长短成正比。很显然，弧线的长短还和半径有关。对于同一个角，半径越大，显然弧线会越长。但是弧长与半径的比总是恒定的。理所当然地，我们就以这个比值表示角的大小： $\theta = \frac{s}{r}$ 现在，我们能够描述出任意角的大小了。我们发现所有的直角，大小都是一样的（这是当然的，否则说明我们的度量方法有问题）。它们的大小约等于 1.57，而平角则约等于 3.14，周角则约为 6.28。数学家的工作表明：这些数字都是无理数，并且是超越数。我们把平角的大小叫做“圆周率”（也许叫“半圆周率”更合适吧），记为 $\pi$ 。笔者习惯于使用周角的大小，将其记为大写的 $\Pi$ ，即 $\Pi = 2\pi$ ，称为“全圆周率”。

单位圆与三角函数

　　三角函数的几何定义，是直角三角形中某两条边的比。如果结合单位圆，我们能够以一些线段的长度来表示三角函数：

影子与三角函数

三角函数的数学性质

　　我们来温习三角函数之间的关系： $\begin{matrix} \sin(\theta)^2 + \cos(\theta)^2 = 1 & \sec(\theta)^2 - \tan(\theta)^2 = 1 & \csc(\theta)^2 - \cot(\theta)^2 = 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \tan(\theta) \cos(\theta) = \sin(\theta) & \sin(\theta) \cot(\theta) = \cos(\theta) & \cos(\theta) \csc(\theta) = \cot(\theta) \\ \cot(\theta) \sec(\theta) = \csc(\theta) & \csc(\theta) \tan(\theta) = \sec(\theta) & \sec(\theta) \sin(\theta) = \tan(\theta) \\ \tan(\theta) \cot(\theta) = 1 & \sin(\theta) \csc(\theta) = 1 & \cos(\theta) \sec(\theta) = 1 \end{matrix}$

三角函数与双曲函数

复数的三角函数

欧拉公式带来的启示

　　在指数指数一章中，我们介绍了欧拉公式： $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$

　　一方面，该公式说明了虚指数的性质；另一方面，也表明了三角函数和指数函数的关系。通过该公式，我们很容易能反过来得到： $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,, \qquad \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ 对比双曲函数的定义： $\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \,, \qquad \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 我们发现二者有十分相似的结构，而且都与指数函数密切相关。两组函数之间的相似性得到了解释。

　　由于指数函数良好的解析性，我们能轻松地将三角函数和双曲函数都推广到复数域： $\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \,, \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\ \cosh(z) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \,, \qquad \sinh(z) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}$ 二者有简单对称的关系： $\cos(z) = \cosh(iz) \,, \qquad i\sin(z) = \sinh(iz) \\ \cosh(z) = \cos(iz) \,, \qquad i\sinh(z) = \sin(iz)$ 我们也可以写出其它三角函数： $\tan(z) = -i\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \cot(z) = i\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}} \\ \sec(z) = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \csc(z) = \frac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}}$ 从指数函的解析性分析可得，三角函数在 ∞ 点以外，处处解析。在 ∞ 点附近，情况通常与指数函数一样复杂。

　　会有不少人认为只有实数的三角函数才是对应于几何的，复三角函数已经失去了几何上的对应，不再与角、几何有关。这是错误的！是典型的井底之蛙视角。在复几何中，角的大小就是复数，而那些根本的几何规律，是相同的。因此，自然就对应着复三角函数。

函数值的分析

　　研究复函数的一个方法是将函数的实部和虚部分离。对于三角函数，我们可以通过和角公式以及与双曲函数的关系，轻松做到这一点： $\begin{aligned} \cos(a + ib) &= \cos(a)\cos(ib) - \sin(a)\sin(ib) \\ &= \cos(a)\cosh(b) - i\sin(a)\sinh(b) \end{aligned}$ $\begin{aligned} \sin(a + ib) &= \sin(a)\cos(ib) + \cos(a)\sin(ib) \\ &= \sin(a)\cosh(b) + i\cos(a)\sinh(b) \end{aligned}$ 通过除法运算，我们又可以得到另外四个函数值。 $\begin{aligned} \tan(a + ib) &= \frac{\sin(a + ib)}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) + i\sinh(b)\cosh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \cot(a + ib) &= \frac{\cos(a + ib)}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) - i\sinh(b)\cosh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \sec(a + ib) &= \frac{1}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\cos(a)\cosh(b) + i\sin(a)\sinh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \csc(a + ib) &= \frac{1}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cosh(b) - i\cos(a)\sinh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned}$ 都能化为实三角函数与双曲函数的组合，这给我们的分析提供了便利。

常用的复角度

　　我们会关心那些函数值为实数的三角函数。通过与双曲函数之间的关系 $\cos(ix) = \cosh(x)$ ，我们注意到：纯虚数的 cos 就对应着实数的 cosh。因此结果是个实数，并且大于等于 1，当角的绝对值越大，余弦越大，当角的绝对值为 0 时，余弦为 1。这就有趣了，回顾上面影子的例子，正午阳光下，平放的棍子影子长度为 1 倍棍长，倾斜一个角度 $\theta$ 后，影子长度应为 $\cos(\theta)$ ，我们的三维空间中，角总是实数，因此那影子的长度总是减小的。倘若棍子能够以纯虚数的角度倾斜，那么影子的长度还是实数，并且非但不收缩，反而会伸长。撬棍非但不能把缝隙撬宽，反而越撬越窄。这两个例子显然与我们的生活常识相悖。类似的现象却真实存在于我们的世界上。它们就是钟慢与尺缩效应。

　　我们有余弦值大于等于 1 的角，也有余弦值介于 -1 和 1 之间的角，还缺小于等于 -1 的。根据余弦的补角关系 $\cos(z) = - \cos(\frac{\Pi}{2} - z)$ 可得：当角为 $\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals$ 时，余弦值为小于等于 -1 的实数。

　　我们知道正弦和余弦之间有余角关系 $\cos(z) = \sin(\frac{\Pi}{4} - z)$ ，因此，当角的大小为 $\pm\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals$ ，正弦将为实数。

　　通过三角函数的周期性可知，大小为 $n\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals \,,\; n \in \natnums$ 的角，其正弦或余弦为实数。这些数在复平面上为竖直等宽的平行线，与实数一起，形成了一个栅栏形状。这个“栅栏”，就是我们时空中角的取值范围。我们不妨约定一些称呼，以便讨论。我们将此“栅栏”的每一列冠以编号，虚轴为第 0 列，往右依次为第 1 列、第 2 列……往左依次为第 -1 列、第 -2 列…… 由于最常用的角为实轴、第 0、第 1、第 -1 以及第 2 列上的角，我们给予特殊称呼：实轴上的角，自然叫“实角”；虚轴上的角，就叫“虚角”；第 1 列上的角，称为“余虚角”；第 -1 列上的角，称为“负余虚角”；第 2 列上的角，称为“补虚角”。这些称谓能够极大地方便我们对一些常用结论的描述：

实角的余弦和正弦介于 -1 和 1 之间；
虚角的余弦大于等于 1；
补虚角的余弦小于等于 -1；
余虚角的正弦大于等于 1；
负余虚角的正弦小于等于 -1；
虚角和补虚角的正弦、正切为纯虚数，取值范围为整个虚轴；
余虚角和负余虚角的余弦、正切为纯虚数，取值范围为整个虚轴；
当角沿着某一列的某一方向趋向 ∞ 时，正切的极限总为 i 或 -i；
……

以上这些，在时空几何中，都是非常有用的。

指数

2019-01-17T20:42:58+08:00

从利滚利到指数

正指数

　　人字拖从我这借了高利贷，年利率是 100%，借 1 元钱，第二年要还我 2 元。过了半年，他中了彩票，发了财，打算提前还钱。由于只借了半年，那么利率应该折半，他应该还我 1.5 元。可我寻思着，他这是发了横财，得好好捞他一笔，好好发扬高利贷利滚利的精神。如果我按季度结算利息，每个季度，应该是 25% 的利率。第一个季度，本息合计 $(1 + 25\%) \times 1元 = 1.25元$ 。这笔钱将作为第二季度的本金。第二个季度过后应还的本息为 $(1 + 25\%) \times 1.25元 = 1.5625元$ 。很棒，这下，他得多还 0.0625 元。还不够，如果我一个月一个月计算利息，是不是能赚更多呢？第一个月的本息，应该是 $(1 + \frac{100\%}{12}) \times 1元$ ，而后续每个月，都以上一个月的本息作为本金计算。六个月以后，应当是 $(1 + \frac{100\%}{12})^6 \times 1元 \approx 1.6165元$ 。若是每天计算一次，我能得到 $(1 + \frac{100\%}{366})^{366 \times \frac{1}{2}} \times 1元 \approx 1.6476元$ （那年是闰年）。计算得越密集，利滚利就发挥得越充分，我能得到的收益就越高。如果一年中计算 n 次，半年后，我能得到的本息为 $(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元$ 。如果 n 趋向 ∞，则达到无限利滚利。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元 = e^\frac{1}{2} \times 1元 \approx 1.6487元$ 。我们将问题一般化，一年的增长周期替换为 T ，而经历的时间不再是半年，而是任意时间。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = e^\frac{t}{T}$ 。这便是指数增长，是一种越来越快，无法控制的增长。因此，可不要随便去借高利贷。据说人字拖和人赌棋，输了一棋盘的麦子，这辈子都没法还清了。

　　现实世界中，“利滚利”的现象比比皆是。细菌的分裂，人口的增长（资源充足的情况下）…… 以细菌分裂为例，在微观的层面上，它们是离散的一分为二，二分为四。到了宏观层面，由于分裂的频率很快，就化为了连续的指数增长。凡是自由增长的事物，都会满足指数规律。

负指数

　　另一方面，增长率有时也会是负数，比如粒子的衰变。假设有一试管的某种粒子，共 N 个。这种粒子的寿命为 T。那么，和我借给人字拖的高利贷相反，T 时间后，粒子的数量似乎应该减少 100%。然而，粒子和行为和宏观物体不同，可不会等到寿命终了才开始衰变。它们的行为依据概率，每一个时刻，都有衰变的可能性。而大自然总是将利滚利发挥到极致。经过时间 t 以后，粒子的数量为： $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{-100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} \times N = e^\frac{-t}{T} \times N$ 这便是指数衰减，迅速衰减，却又连绵不绝。即便粒子的寿命 T 是有限的，我这一试管粒子，却能永远有一部分存在下去，真正的日取其半，万世不绝。

　　我们发现自然界中，许多事物的增长还是衰减，都满足指数规律。为什么大自然会偏爱指数呢？让我们找找这其中的共同点：不论是细菌的分裂，还是粒子的衰变，都是内源性的。其增长或衰减的缘由，都来自其本身。而那些外源性的增长和衰减，比如自由落体的速度增长，冰在阳光下融化等等。他们都不符合指数规律。内源性的增长/衰减，若增长率/衰减率保持恒定的话，增长/衰减应该正比于当前的基数。这便是指数，一种基于当前数量的，最简单纯粹的改变。

虚指数

　　指数增长和指数衰减，增长率分别为正数和负数，分别是向着实数轴的两个方向变化。在数学上，除了实数轴，还有虚数方向。设有一种虚数增长，增长周期为 T 增长率为 i100%。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{i100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = \cos(\frac{t}{T}) + i\sin(\frac{t}{T}) = e^\frac{-t}{T}$ 随着 t 的增长，其结果绕着复平面的单位圆转。这便是虚指数。为什么虚指数会表现为旋转呢？我们思考指数的现实意义：它表示一种恒定增长率的均匀改变，每一刻的增长与当前基数成正比，与历史无关，也与其它因素无关。而在起点时刻，若基数为 1。正数的增长率使得基数越来越大，向着数轴正方向；负数的增长率使得基数越来越小，向着数轴的负方向；同理，虚数的增长率，应该是垂直于实数轴的方向。实指数，即实数增长率的情况下，增长量与基数是同一方向（幅角相同）。因此贡献了模长的增减，产生利滚利效果。而虚数的增长率，使得增长量总是垂直于基数。我们知道垂直方向的加速，不会改变速度大小，只会改变速度的方向。同样，虚数的增长率不会改变基数的模，只会改变其幅角。因此，虚指数，表现为转圈。理解了这一点，相信读者对欧拉公式会有原理性的认识。 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \,, \quad \theta \in \reals$

指数的幂级数展开

　　通过泰勒展开，我们得到指数函数的的幂级数： $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \, ... \quad x \in \reals$

　　函数的级数展开，是一种类似矢量的坐标分解的数学方法。区别在于函数世界的“坐标系”是无穷多维的。而不同的展开方法，相当于采用不同的“坐标系”。常用的“坐标系”有：泰勒－洛朗“坐标系”，傅里叶“坐标系” 等（此处为笔者自造的称呼，并非公认叫法）。幂级数展开，即笔者所谓“泰勒－洛朗坐标系”下的分解，本质上是将函数某一点的变化趋势进行分解。不同的项，表征了不同阶的变化趋势。若级数收敛，我们可以只取前 n 项，来一定精度地模拟原函数。这在数值计算中十分有用。

复指数

　　此外，由于幂函数的解析性。我们可以利用幂级数展开，将实函数的定义延拓到复数域。比如对于指数函数和三角函数，利用幂级数延拓到复数域为： $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \,, \quad z \in \Complex$ 当 z 为纯虚数时，可表示为 $z = i\theta$ 代入上式得： $e^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n \theta^n}{n!} \,, \quad \theta \in \reals$ 我们令 $k = \frac{n}{2}$ 使实部和虚部分离，得： $\begin{aligned} e^{i\theta} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k} \theta^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{ii^{2k} \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{aligned}$ 实部和虚部分别是 cos 与 sin 的幂级数，欧拉公式得证。

　　同样的方法，我们也能得到普通复数的指数运算公式： $e^{a+ib} = e^a(\cos(b)+i\sin(b))$

若只清楚数学推导，而不了解原理，令人迷惑。反之只了解过原理，而没有数学推导，则无异于纸上谈兵，终等于零。上一节我们从原理上理解了什么是虚指数，这一节则在数学上证明之。两者结合，才能既透彻，又巩固。当然，这并不代表达到了完美理解。在复指数的各种应用中，还会有更多的领悟。

矩阵指数

　　幂级数不但能将函数的定义域延拓到复数域，还能扩展到更多的系统中。只要这个系统中能定义整数次幂和加法两个运算，例如矩阵。矩阵的指数运算定义如下： $e^\bold{A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\bold{A}^n}{n!}$ 这种运算有什么意义呢？让我们看一个例子。

　　我们知道矩阵可以理解为线性变换。例如空间中的旋转、斜切、缩放、反射、投影等变换，皆可用矩阵表示。就拿平面上角度为 θ 的旋转而言，可用如下的变换矩阵表示： $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 事实上，我们可用一个更简洁的矩阵－－生成元矩阵表示这个旋转： $\begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix}$ 通过指数，我们可由生成元得到变换矩阵： $e^{ \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 我们用 $\bold{\Theta}$ 表示旋转生成元，有： $\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} \\ e^\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

当然，这个关系适用于任何线性变换，并不限于旋转。为了方便，我们仅以旋转为例进行说明。生成元矩阵有一个很好的特性，直接以角度表示矩阵，便于角度的相加，在多维的情况下，便于处理。

扩展－－黎曼曲率的理解

　　黎曼曲率，更是与旋转生成元密切相关。为了由浅入深，我们先从曲面上的高斯曲率说起。我们知道球面是弯曲的，而圆柱面和圆锥面是平直的（可以摊平），而越小的球面，越弯曲（难以铺平）。那么怎么定义弯曲程度呢？我们注意一个现象：矢量（或任何事物）在平面上平移，无论经过什么样的路线，只要平移回原点，总是和原来重合的。但球面就不是这样。假设一只螃蟹开车从赤道上的一点向北出发，笔直前行，经过北极点后继续向前，直至又到达赤道为止。此时它下车步行，横着穿过半个赤道走回原点。这只螃蟹一直在平移，从未旋转。但平移回原点后，方向竟然与开始时相反了。这便是曲面弯曲的内在特征。如果仔细分析，我们会发现平移一周回到原点后，若是球面的话，偏差的角度与我们走过的路围成的面积成正比。自然而然地，我们把偏差角度除以面积当作表征弯曲程度的量，即高斯曲率。反过来说，球面上平移一周的偏差角度，就等于路径围成的面积乘以高斯曲率。均匀弯曲的球面用乘法即可，而一般的曲面，我们就使用面积分。曲面上平移一周的偏差角度，就等于高斯曲率在路径围成的区域内的面积分： $\Delta \theta = \oiint_{S}K dS$ 其中 K 为高斯曲率。高斯曲率，本质上是环路平移偏差角度的环路面密度。 而环路面密度，本质上就是旋度。

　　可是，高斯曲率只能在曲面上定义，无法向高维推广。原因是我们使用标量角度来表示旋转。而三维及以上维度空间中的旋转，是有不同方向的，不能只用一个标量表示。我们知道，旋转，是面上的行为。要有旋转，至少得有两个维度。旋转时，每个点总是沿着某个面运动。（绕着某条轴转动的说法，只适用于三维空间，不具有普适性。在二维空间中，是绕着某个点而非轴转；而四维空间中，是绕着某个平面转。而沿着平面转动的说法，适用于任何维度的空间。）因此我们需要一个二维的，有方向的量，一个相当于“二阶矢量”的事物。关于这种量，我们以后再展开讨论。这里，我们直接搬出答案：这样的“二阶矢量”有三种，而适合旋转的，是其中一种－－反对称矩阵。回顾上一小节，我们发现旋转生成元，便是一个反对称矩阵。旋转生成元，相当于有方向的角度。我们可称之为有向角。用之表示旋转，即可拓展到高维。我们使用旋转生成元代替角度，高斯曲率就升级成为黎曼曲率。上面的积分式改写为： $\Delta \bold{\Theta} = \oiint_{S}\bold{R} dS$ 其中 R 为黎曼曲率。黎曼曲率，本质上是环路平移偏差有向角的环路面密度，即平移偏差有向角旋度。

矩阵的可交换积

　　矩阵的乘法，通常是不可交换的。这不难理解，矩阵对应线性变换。假设我们有一块金砖，平放在一台液压机上。我们先把金砖竖起来，再压扁；和先将金转压扁，再竖起来，顺序不同，结果是不一样的。但是，通过矩阵的指数和对数（为指数的逆运算，也可通过幂级数定义），我们可以定义一种可交换积： $\bold{A} \boxtimes \bold{B} = e^{ ln(\bold{A}) + ln(\bold{B}) }$ 由于加法是可交换的，显然，这种乘法是可交换的。与普通积所表示的线性变换先后进行不同，表示两个线性变换同时进行。以刚才的金块为例子，可交换积表示将金块匀速转动竖起的过程中，液压机也在匀速下压，最后是在两个方向上都有所压扁，并有所倾斜（斜方向也有所压扁）的状态。

总结

指数是恒定增长率的均匀改变，可以是正方向－－利滚利，负方向－－衰减，虚方向－－旋转。自然界中，凡是自发的增长或衰减都满足指数规律
幂级数是对函数的一种“矢量分解”，表征某一点的各阶变化趋势。在数值计算方面上非常有用，更能将函数推广到实数以外的领域，如复数域、矩阵。
指数推广到复数域，有欧拉公式，关联了指数和三角函数。
指数推广到矩阵，有变换和生成元的关系。其中旋转生成元，可以理解为有方向的角，是理解黎曼曲率的关键。
通过矩阵指数和对数，还可以定义矩阵的可交换积。两个矩阵的可交换积相当于两个线性变换同时进行。

时空几何与四维物理－－引论

2019-01-12T09:10:18+08:00

引言－－不得不说的废话

　　相对论无疑是大众最耳熟能详的科学概念之一。然而，尽管科普读物多如牛毛，依然无法褪去其神秘的面纱。大众对相对论是什么却缺乏应有的基本认识，甚至误以为相对论就是说“一切都是相对的”。而误解的源头不是别个，正是其名称：“相对论”。这是个十分不恰当的名称。事实上，这个名称并非爱因斯坦所创，而是来源于周围的人。而他们发明这个名称时，并不真正理解爱因斯坦的理论。梁灿彬教授曾打趣：相对论不应该叫“相对论”，而应该叫“绝对论”。因为相对论的基本研究方式，是忽略那些相对的东西（比如同时性，测量长度），而关注那些绝对的事物（譬如四维动量，固有长度）。

　　笔者决心要弃用这个坏名称，而改用恰当的称呼。事实上，所谓相对论，研究的是两个内容：四维的时空（Space-Time）几何，与四维时空中的物理学。我们不妨称祂们为“时空几何”、“四维物理”，合称“时空几何与四维物理”，简称“时空物理”，以取代“相对论”一词。以上为横向拆分，时空几何为基础，四维物理为上层建筑。而纵向拆分，又可分为平直时空物理、弯曲时空物理，即常说的“狭义相对论”、“广义相对论”。笔者将一贯使用“时空几何”、“四维物理”、“时空物理”、“平直-”、“弯曲-”等称谓。

　　读者或许会认为笔者总喜欢脱离主流，走偏门奇路，或是自己生造一些未被公认的词汇，或是选取一些与主流不同的约定（比如约定 c=i 而非主流的 c=1 ）。是的，我承认自己有些特立独行，但只在这么做有足够好处时。 如果完全遵循前人走过的路，你也将错过前人所错过的。 我所做的不是创新，而只是从别的（笔者认为更好的）角度来审视事物。当然，这与“民科”（指不具备基本科学素养的科学爱好者）的天马行空不同，我们必须在角度清奇的同时，时刻保持严谨的态度。以下是我特立独行的理由：

“时空几何与四维物理”是比“相对论”更准确的说法，而使用这种准确称呼是避免大众误解的必由之路。
c=1 的时空几何必须使用更加“高等”的几何来解决问题；而约定 c=i，则可用中学生都会的初等几何深刻地讨论平直时空几何。

　　此外，我也不打算重走历史上的发现之旅。这样的书和文章数不胜数，没有再多我这一篇的必要。我们有一百多年的时间优势，完全可以从其它角度来思考，走不同的思路。相信一定会有新的启发。

位置－时间图的特殊性

　　 ~~相对性原理说运动是相对的~~，不，这是个误解。相对性原理只说了静止和匀速直线运动之间是相对的。我们决不能随意外推到加速运动上。绝对的静止是不存在的。让我们假想这么一个场景：你生活在一个太空城，这个太空城漂浮在广袤的宇宙中，远离任何一个星系。而我的飞船与你擦肩而过。你认为你是静止的，而我开著飞船在匀速滑行；而我却认为我并没有踩油门，是静止的，是你在匀速向后飞去。为了避免争论不休，我们于是开始用实验来区分谁才是静止的。望远镜目前是指望不上了，我们现在远离任何星系，而星系都在运动。微波背景辐射也被三体人或者别的甚么生物给屏蔽了。我们只好作本地实验，从台球碰撞，到粒子对撞，还包括迈克尔逊－莫雷的光干涉实验。最终的结果都是一样的，咱俩谁也不比谁特殊，所谓静止，不过是我们主观给自己的认定。客观上，咱俩并没有静止和匀速直线运动之分。

　　在研究事物变化时，我们常常使用一种坐标图来形象描述。以时间为自变量轴，以所研究的物理量为另一条轴。比如温度－时间关系图、位置－时间关系图、速率－时间关系图等等。你为了研究我飞船的运动，画起了位置－时间关系图。你也是个喜欢偶尔背离主流的人，这次选择纵坐标为时间，横坐标为位置。

　　如图，你认为自己是静止的，图像与 t 轴重合（红色）。而我则在匀速运动，因此图像为一条斜线，由于没有加速，因此图像至少是直线（蓝色）。你的一段红线，由于与 t 轴重合，所以代表一段时间。由于相对性原理，我们之间是平等的。那么我的一段蓝线也应该代表一段时间。这就有趣了。一般物理量－时间图像中的斜线，是没有特定意义的。比如温度－时间图像，斜线本身段并不代表任何物理意义，既不是一段时间，也不是一段温度。其他诸如速度－时间图像、加速度－时间图像等等，无不如此。唯有位置－时间图像（不失一般性后文称 x-t 图像），十分特殊。另一个竖直线段与斜线段代表相同物理意义的坐标是 x-y 坐标。另一方面，我们也可以认为，你是选取了自己运动的轨迹为 t 轴。而若换做我画 x‘-t’ 图像，则 t’ 轴一定是沿着我的轨迹，而你的轨迹则倾斜。而相对性原理告诉我们你的 x-t 图和我的 x’-t’ 图，是平等的。这应该是某种坐标变换。另一个存在坐标变换的系统是 x-y 坐标。 x-t 与 x-y，二者似乎有内在的共同点。

　　这里可引出一些疑问：竖直线和像这样的斜线代表一段时间，而水平线代表一段空间，是否所有斜线段都代表一段时间？是否也有代表一段空间的斜线段？时间和空间的分界在哪？直线段与斜线段都是一段时间，那么它们之间如何比较长度？ x-t 到 x’-t’ 的变换是什么样的呢？会不会像 x-y 到 x’-y’ 的变换？ x 轴和 x’ 轴重合吗？

　　读到此处，请读者停下来思考。先别急着思考这些问题的答案，而是先思考如何提出问题。万事开头难，从现象中抽取规律，并提出好的问题，是科学发现的第一步。爱因斯坦当年，便是从提出如果追著一束光飞行会怎么样开始，窥探到了时空几何的奥秘。比起问题本身，笔者更想要分享的，是发现斜线与竖直线平等，以及由此提出这些问题的思维方式。笔者的这些问题，你是否也有想到呢？此外，你是否还想到了更多问题？

反思空间的性质

　　然后，我们来思考这些问题。光是盯着问题本身思考，往往很难得到答案。我们需要更开阔的视野和一些深层的洞见。类比 x-t 与 x-y，研究其共性，应该会对我们有帮助。此外，研究时间和空间本身所具有的性质能让我们的认识更加深刻。不要去思考“时间是甚么”这样的问题，这容易让我们陷入迷茫；更不要随意回答这样的问题，这往往得到片面的答案，就像盲人摸象。应该思考“时间具有什么性质”、“它与其它事物有甚么关系”这样的问题，这才能实质性地提供建设性，并且保持不同角度看事物的可能性。空间有什么性质？首先，它具有平移不变性：左边的一米，和右边的一米是一样的；楼上的一平方米，和楼下的一平方米是一样的。这个平移还可以是在时间方向上：昨天的一米和今天的一米是一样的。其次，它具有旋转不变性：东西方向的一米，和西北偏北的一米是一样的。时间具有什么性质？它恒定流动，永不回头。永不回头这一点，在我们研究到热之前没有甚么帮助，暂时放一旁。恒定流动，换成一个刚才用过的说法，在时间方向上平移不变性：今天的一秒和昨天的一秒是一样的。此外，还有空间方向的平移不变性：家里的一秒和街上的一秒是一样的。而前面，根据相对性原理，我们还发现时间还可以向空间方向倾斜，并且保持某种不变性。倾斜，其实就是某个范围内的旋转，也许还叠加了某种程度的缩放。

　　以上特点中有一个非常优美的性质－－“线性”。一个方向的空间是线性的，不同方向的空间之间是线性的，时间是线性的，时间和空间之间也是线性的。这实在是太棒了，线性，意谓着数学上的简单性，大家都喜闻乐见。我们回忆中学所学的平面直角坐标系变换，由于空间的线性，一定可以写为：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y + \Delta x \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + \Delta y \end{cases}$

　　 Δx 和 Δy 表示两个坐标系原点的差异，如果两个坐标系原点重合，可以将它们消掉。写为：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y \\ y' = a_{21}x + a_{22}y \end{cases}$

　　其中， $\begin{bmatrix} a_{11}, a_{12} \\ a_{21}, a_{22} \end{bmatrix}$ 这四个参数构成一个变换矩阵，但是我们先不从这个角度思考，而是着眼于两个坐标系的平等性。考虑到这一点，逆变换也应当具有相同形式

$\begin{cases} x = b_{11}x' + b_{12}y' \\ y = b_{21}x' + b_{22}y' \end{cases}$

并且，若我们都用相同的长度单位，还会有： $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} = 1 \\ a_{11} = b_{11} = a_{22} = b_{22} \\ a_{12} = -b_{12}$ 否则，将破坏平等性。（中间的数学推导从略。对于懂得线性代数的朋友，这两个结论显而易见。不懂线性代数的朋友，也能用简单的加减乘除推导，加上适时使用两个坐标系的平等性得到。正好作为练习。 要体会物理的美，是绕不开数学的。）

　　为了简化，我们记 $\alpha = a_{11}$ ， $\beta = a_{12}$ 可得：

$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y \\ y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \beta y' \\ y = -\frac{\alpha^2-1}{\beta} x' + \alpha y' \end{cases}$

　　至此，我们将八个参数简化为两个。比起 α 和 β，我们更希望通过坐标之间的几何量作为变换式的参数。由于两个坐标系原点的重合，又默认都是右手系，因此它们的关系由从 x 到 x’ 的角唯一确定。我们记这个角为 θ，需要注意，这个角是有方向的。我们取 x’ 轴上的点 A，记其在两个坐标系下的坐标分别为 $(x_A,y_A)$ $(x_A',y_A')$ 。由于 A 点在 x’ 轴上，有： $\begin{cases} y_A' = 0 \\ \frac{y_A}{x_A} = \tan(\theta) \end{cases}$ 将其代入 $y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y$ ，并消去 A 相关的部分，可得： $\begin{cases} \frac{\alpha^2-1}{\beta} = -\alpha \tan(\theta) \\ \beta = \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} \end{cases}$ ，于是变换式又简化为： $\begin{cases} x' = \alpha x + \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y \\ y' = -\alpha \tan(\theta) x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y' \\ y = \alpha \tan(\theta) x' + \alpha y' \end{cases}$

　　再通过角的可加性，我们可以最终确定 $\alpha = \cos(\theta)$ ，过程与本文主题无关，从略。这是我们在中学就知道的事实。写成矩阵，就是 $\begin{bmatrix} \cos(\theta), \sin(\theta) \\ -\sin(\theta), \cos(\theta) \end{bmatrix}$ ，利用矩阵的指数和对数运算，我们还能写成更漂亮的形式 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ ，这是个重要的形式，里面蕴含关于旋转的深刻原理，对于理解弯曲时空的黎曼曲率有很大帮助，恰当的时候，会单独开篇讨论。

类比到时间－空间平面

　　回顾以上，我们使用了空间坐标系的线性和平等性，得到了包含两个待定参数的了坐标变换式。只要确定了参数，便可以研究 x-y 平面上的各种问题。同样地，我们也希望找到 x-t 到 x’-t’ 的变换。根据线性，我们同样可以写出： $\begin{cases} t' = a_{00}t + a_{01}x + \Delta t \\ x' = a_{10}t + a_{11}x + \Delta x \end{cases}$ 同样，我们可以让坐标原点重合消去 Δt 和 Δx，具体操作就是以我们相互飞过时作为时间的 0 点，交汇点为空间原点（当然，为了简化，我们把咱俩都看作是质点，并相互无限接近地飞过）。再根据相对性原理，我们也能得到时空坐标的平等性。于是可同样简化为： $\begin{cases} t' = \alpha t + \beta x \\ x' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} t + \alpha x \end{cases}$

接着，我们也能在 t’ 轴上取一点 A，坐标分别为 $(t_A,x_A)$ $(t_A',x_A')$ 。由于 A 点在 t’ 轴上，有： $\begin{cases} x_A' = 0 \\ \frac{x_A}{t_A} = v \end{cases}$ 。其中 v 为 x’-t’ 系相对于 x-t 系的速度。和空间的情形完全一致，只是 tan(θ) 换成了 v。通过相同的步骤，我们可将变换式简化为： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases} \qquad \begin{cases} t = \alpha t' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x' \\ x = \alpha v t' + \alpha x' \end{cases}$

当我们局限于视野

　　然后，我们需要做的，就是确定参数 α。线性和相对性原理，只能带我们走到这里。我们需要更多的基本原理－－或者说“公设”－－才能继续。以我们的日常生活经验，和实验室中能进行的力学实验，应当有： $x' = x - v t$ 通过取 $\alpha = 1$ 便可做到这一点。代入变换式得： $\begin{cases} t' = t + 0 x \\ x' = - v t + x \end{cases}$ 这便是伽利略变换，在很高的精度下正确。谁也没有见过谁的表运动著，就变快或变慢了，谁也没有见过什么东西运动著，长度就变了。

　　现在，我们可以来回答之前那些问题了：竖直线段和斜线段都代表一段时间，只有水平（至少要非常接近水平）的线段才代表一段空间。时间与空间的分界就在于是否是水平（非常接近水平）的。对于一个时间段，只要分别沿着其两个端点作水平线，两条水平线之间的距离即时间长度（偏差非常小）。 x-t 到 x’-t’ 的变换与 x-y 到 x’-y’ 的变换不同，参数（几乎）是常量而非变量。它像一种斜切变换，而不像转动，因为 x 轴始终（几乎）不动。 x 轴和 x’ 轴（几乎）是重合的。由于经验所确定的参数并不能精确地确定为 1 和 0，我们还不能把话说死，需要括号里那些有所保留的话。如果这组参数是精确的，即伽利略变换精确成立。那么，我们将得到一幅十分怪诞的几何图景。没有转动，而是斜切变换。水平方向和其它方向如此不同，而且是跳跃式的变化，只要稍稍有那么一点倾斜，立即从空间变为时间，而且其长度与原来的空间长度毫无关系。虽与我们的世界的情形十分吻合，图景本身却毫无美感可言。比起 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ 这样优美的矩阵， $\begin{bmatrix} 1, v \\ 0, 1 \end{bmatrix}$ 就显得十分突兀，有某种无穷大在其中。宇宙真的是这样丑陋的吗？（看问题的角度不同，审美也会不同。牛顿和十九世纪的开尔文勋爵可不认为这丑陋。亦或许是因为他们的年代早于爱因斯坦，还没有机会体会真正美丽的时空几何。）

电磁场搅局，打开新的视野

　　伽利略变换在很高的精度下正确，无论是我们的日常生活，还是实验室中的各种力学实验，全都精确符合。可偏偏有一种物质，完全不符合此变换。这个怪胎就是电磁场。它遵循麦克斯韦方程组，那是四个优雅的方程，与伽利略变换水火不容。一定有一个是错的，至少是不准确的。从十九世纪末到二十世纪初的物理学家们，大都选择修改电磁场理论。为此，他们引入以太来代替真空作为电磁场的介质。然而，一切实验都证明了以太是莫须有的。修改麦克斯韦理论的尝试，是失败的。看起来，只能修改伽利略变换了。洛伦茨是第一个吃螃蟹的。他提出了著名的洛伦茨变换。可是，他显然不知道他的变换意谓着什么。这其中深刻的道理，还要等爱因斯坦和闵可夫斯基来解读。

　　站在马后炮视角，我们看问题可就明朗多了。麦克斯韦方程组，十分优美；而伽利略变换，则是丑陋的。只要是按照我们上一节的思路得到伽利略变换，我们就一定会首先想到修改伽利略变换，而非麦克斯韦理论。我们得到伽利略变换的最后一步，是确定变换式的两个参数。这一步，是根据片面的实验（力学实验，而无电磁学实验）所得。我们不妨抛弃这里的公设，重新确定两个参数。这也是对伽利略变换的最小化修改，我们保留了时空的线性（万幸万幸），以及相对性原理。

　　笔者不打算在这里讲麦克斯韦方程组，和一般的电磁场，那样需要太多篇幅。这里，只取用真空中电磁波的速率为恒定值 c 这一个推论。如果时空变换与麦克斯韦方程组兼容，那也必然与这个推论相容。我们可先用此推论找出变换，再回头验证麦克斯韦方程组（这也是当年爱因斯坦的做法）。约定俗成，我们称 c 为光速（不加说明，“光速”一律指真空光速，介质中光传播的速率必须有“某某介质中的”定语，不可简称“光速”）。根据相对性原理，所有的惯性系下，应当遵循同一个麦克斯韦方程组，于是也就有同一个光速。光，是一种电磁波，不失一般性，我们就以光来进行讨论。

　　我们回到参数确定之前： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases}$ 如果有一束光，在时空原点向前发射。在你的参考系下，经过了 τ 时间，应到达 cτ 位置。假设在我的参考系，是经过了 τ‘ 时间，那么也应到达 cτ’ 位置。代入变换可得： $\begin{cases} \tau' = \alpha \tau + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} c \tau \\ c \tau' = -\alpha v \tau + \alpha c \tau \end{cases}$ $\begin{cases} c \tau' = \alpha c \tau + \beta \tau \\ \tau' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} c \tau + \alpha \tau \end{cases}$ 同时消去 τ 与 τ’，加上 α 取正数，我们得到 $\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ ，代入变换式得： $\begin{cases} t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t - \frac{v}{c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \\ x' = - \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \end{cases}$ 这便是洛伦茨变换。乍看之下，完全体现不出任何美感。问题在于我们选了速率作为参数。速率是伽利略变换下的好参数，在伽利略变换下，速度具有可加性。在洛伦茨变换下，则不然。可加性丢失了，意谓着它不再是一个好的参数。对比我们推导空间变换和时空变换的过程。空间变换中，我们使用角 θ 作为参数，过程中有个关键的 $\tan(\theta)$ 而到了时空变换中，我们将 $\tan(\theta)$ 换成了 v。若我们在空间变换中也使用 v 代替 $\tan(\theta)$ 会如何呢？我们会得到： $\begin{cases} x' = \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} y \\ y' = - \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} y \end{cases}$ 是不是像极了洛伦茨变换？若使 $c^2 = -1$ ，二者将完全一致。我们仿造空间中的角，定义时空角，将 v 换为 $\tan(\varphi)$ 。

这样，洛伦茨变换竟被我们化简为： $\begin{cases} t' = \cos(\varphi) t + \sin(\varphi) x \\ x' = - \sin(\varphi) t + \cos(\varphi) x \end{cases}$ 我们发现：时间与空间满足同一个几何学。如此完美！

有虚数的世界

　　需要指出，以上得到的熟悉的变换式，并不像表面上看起来那么熟悉。因为选取 $c^2 = -1$ ，势必要引入复数。我们不妨取 $c = i$ ，无量纲。这意谓着我们将时间和空间的量纲进行了统一，并定义了时间单位和空间单位的换算关系。具体地，有： $1 光年 = i 年 \\ 1 s \approx -3.0i \times 10^8 m \\ ...$ 。我们看到时间与空间一虚一实，若使用时间单位，则空间为虚数，若使用空间为单位，则时间为虚数。正切值，也就是速率，为实数与虚数之比，为虚数。于是，时空角通常也为虚数。因此，三角函数也不再是熟悉的实变三角函数，而是复变三角函数。会有 $\cos(\varphi) > 1$ ， $\sin(\varphi)$ 和 $\tan(\varphi)$ 为虚数，失去周期性（准确地说，是在我们关注的方向上没有周期性）等等。这个既熟悉有陌生的变换式，将会为我们开启一个既熟悉又陌生的几何世界。后面的篇章，将带来复变三角函数的充电宝。待充电完毕，我们来游览这个有趣的几何世界。

　　物理学家常常定义一个常数为无量纲数，来统一不同的量纲。比如定义波尔茨曼常数为 1 以统一温度与能量的量纲等等。主流做法是定义 c = 1，实际上是等价的，所有实在的结论都没有任何不同。但那样的几何图景，远不如 c = i 来得简洁优美。依我看，选择 c = 1 的人除了从众以外，就是为了避开虚数。但他们避开了虚数坐标，却避不开虚数的线元和角度。拿到了负数的线元，他们不敢开方。甚至完全避开角度不谈，或只谈纯虚数角度的虚部（是个实数，被命名为快度）。对实实在在的事物视而不见，看到的世界便不完整。让我们拥抱复数，拥抱完整的世界。

NodeJS 异步 API 允诺化

2018-12-30T15:38:06+08:00

正文之前，我们先阐明几个概念：

允诺（Promise）：想必不需要解释。这个概念貌似缺乏一个约定俗成的中文翻译，这里就现造一个罢。
允诺式（Promisive）：基于允诺的异步编程方式，包括允诺链和异步函数等；一个对立面是回调式。
允诺化（Promisify）：将非允诺式的程序或 API 转化为允诺式。

引子

　　允诺（Promise）是现代异步编程的基础与核心，而 NodeJS 的设计早于允诺。因此，其大量的异步 API 皆为回调式。不进行允诺化（Promisify）改造，我们就无法方便地使用。理想情况是官方修改这些 API 的行为，当没有回调函数传入时，返回一个允诺。然而这取决于官方的态度，由于这将破坏向后兼容，他们自然是要周全考虑，不可能轻易改动。作为普通用户，我们只有自己动手了。

　　一个方案是将需要用的 API 进行再次封装，鉴于异步 API 庞大的数量，我们只能用到哪些封装哪些。但这并不令人满意。当我们用到新的 API 又得重新封装；并且，我们被迫要额外记忆封装后的另一套 API；每个项目，每个开发者，又有不同的封装方案。

　　最好是能用一个精简的方式构造一个通用的解决方案。比如如下的方案：

定义

function Do( api, ...args )
{
	return new Promise(
		( resolve, reject, )=> api(
			...args,
			( err, response, )=> {
				if( err )
					reject( err, );
				else
					resolve( response, );
			},
		),
	);
}

function Promisify( module, )
{
	const cache= {};
	
	return new Proxy(
		module,
		{
			get( target, key, receiver, ){
				if(!( Reflect.has( target, key, ) ))
					return undefined;
				
				return cache[key] || (
					cache[key]= ( ...args )=> Do(
						Reflect.get( target, key, receiver, ),
						...args,
					)
				);
			},
		},
	);
}

用法：

// Do
const fs= require( 'fs', );


Do( fs.readFile, '/path/to/file', 'utf-8', ).then( /* ... */ );

await Do( fs.readdir, '/path/to/directory', );


// Promisify
const pfs= Promisify( fs );


pfs.readFile( '/path/to/file', 'utf-8', ).then( /* ... */ );

await pfs.readdir( '/path/to/directory', );

设计思路

　　分析 NodeJS 的异步 API 规范为：不论接受几个参数，最后一个参数为回调函数，并且回调函数所接受的第一个参数统一为错误，第二个参数为接口的响应。据此设计通用的 Do 函数。

Do 函数的用法略显别扭。如果我们只使用某个模块中的异步函数，就可将整个模块允诺化，提供更顺手的 API。可以使用一个原模块的代理（Proxy）对象，拦截接口的访问，并返回封装层，通过 Do 函数访问接口。这里对封装层作了缓存，目的是使每一次访问都获取到同一个函数，避免出现 pfs.readFile !== pfs.readFile 的诡异现象。

Git 暂存区的使用

2018-12-16T13:26:21+08:00

　　一个健康的版本库，是可阅读，可追溯的。对于每一次提交，我们需要有清晰的把握。 Git 的暂存区（index），就是我们的得力工具。暂存区，就像是超市里的购物车。我们在货架（工作区）上挑选商品（文件的修改），并带到收银台结帐（提交）。有了暂存区，我们可以对一大堆修改进行分门别类，先后有序的提交。

基本命令

　　对暂存区的操作，主要使用三个命令 add、reset、checkout。它们的作用分别为：

add 将修改加入暂存区
reset 将修改从暂存区移出
checkout 放弃未加入暂存区的修改（从暂存区同步到工作区）　　其中 resset 和 checkout 都是多用途的命令，分别还有另一个用途。 reset 还可用于重置当前分支，checkout 还可用于重置 HEAD 并检出文件。区别在于若命令后跟提交（hash）或指向提交的指针（分支、tag 等），则是重置分支和 HEAD 的功能；命令后跟文件，或没有参数，则是本文所说的用途。

精细操作 `--patch`

　　 add、reset、checkout 三个命令都可以加 --patch 选项，简写为 -p。遍历每一处修改进行精细处理。后面可以跟文件名作为参数；也可以不加参数，表示对所有修改进行处理。三个带 -p 的命令组合使用，我给它起了个俗名，叫“3P 大法”。是目前处理 git 暂存区的最理想方案。

　　执行命令将进入一个交互界面。大致如下：

diff --git a/index.md b/index.md
index 921ba51..1c0d98b 100644
--- a/index.md
+++ b/index.md
@@ -3,5 +3,5 @@
 
 
 layout: home
-list_title: foo
+list_title: bar
 ---
Stage this hunk [y,n,q,a,d,k,K,j,J,g,/,s,e,?]?

最后一行的内容三个命令个有不同，分别为：

add
Stage this hunk [y,n,q,a,d,k,K,j,J,g,/,s,e,?]? 

reset
Unstage this hunk [y,n,q,a,d,k,K,j,J,g,/,s,e,?]? 

checkout
Discard this hunk from worktree [y,n,q,a,d,k,K,j,J,g,/,s,e,?]?

说明了各自的用途。

　　这里可见，git 展示了我们对 index.md 文件作出的一处修改。并提供了 y,n,q,a,d,k,K,j,J,g,/,s,e,? 十一个可用的操作。分别表示什么呢？别的不清楚，但 ? 想必是用来提供帮助。我们输入 ? Enter。得到提示信息：

`add`

y - stage this hunk
n - do not stage this hunk
q - quit; do not stage this hunk or any of the remaining ones
a - stage this hunk and all later hunks in the file
d - do not stage this hunk or any of the later hunks in the file
g - select a hunk to go to
/ - search for a hunk matching the given regex
j - leave this hunk undecided, see next undecided hunk
J - leave this hunk undecided, see next hunk
k - leave this hunk undecided, see previous undecided hunk
K - leave this hunk undecided, see previous hunk
s - split the current hunk into smaller hunks
e - manually edit the current hunk
? - print help

`reset`

y - unstage this hunk
n - do not unstage this hunk
q - quit; do not unstage this hunk or any of the remaining ones
a - unstage this hunk and all later hunks in the file
d - do not unstage this hunk or any of the later hunks in the file
g - select a hunk to go to
/ - search for a hunk matching the given regex
j - leave this hunk undecided, see next undecided hunk
J - leave this hunk undecided, see next hunk
k - leave this hunk undecided, see previous undecided hunk
K - leave this hunk undecided, see previous hunk
s - split the current hunk into smaller hunks
e - manually edit the current hunk
? - print help

`checkout`

y - discard this hunk from worktree
n - do not discard this hunk from worktree
q - quit; do not discard this hunk or any of the remaining ones
a - discard this hunk and all later hunks in the file
d - do not discard this hunk or any of the later hunks in the file
g - select a hunk to go to
/ - search for a hunk matching the given regex
j - leave this hunk undecided, see next undecided hunk
J - leave this hunk undecided, see next hunk
k - leave this hunk undecided, see previous undecided hunk
K - leave this hunk undecided, see previous hunk
s - split the current hunk into smaller hunks
e - manually edit the current hunk
? - print help

　　初次看简直眼花缭乱，让我们整理一下：

处理命令：
`y` yes       要（加入/移出/丢弃）；
`n` no        不要动；
`a` all       此文件的修改，全都要（加入/移出/丢弃）；
`d` don't     此文件的修改，全都不要；
`e` edit      编辑，后面详细说明；
`s` split     分割，有时候 git 会把几个修改并在一起，若想分开处理，用此操作；

导航命令（只能在本文件中导航）：
`g` goto      跳转到第 n 个修改，如 `g 1`，`g 2`，需要注意序号从 1 开始；
`/` search    搜索，和 vim、less 等软件的搜索差不多，在大文件中有大量修改的时候很方便；
`j` next      下一处没处理的修改；
`J` Next      下一处修改；
`k` previous  上一处没处理的修改；
`K` Previous  上一处修改；

其它命令：
`q` quit      退出；
`?` help      帮助；

　　基本使用只需要掌握 y、n、s、q，高级使用就再加上个 e。程序员一般有 y、n、s、e 就够用了。导航命令则对于字典维护人员，webpack 配置师这样的工种比较有用。

　　下面我们详细讲一下这个 e。既然是 edit，自然需要 editor。和不带 -m 选项的 commit 一样，它会调起编辑器，vim、nano 或是其它，依据你的配置。内容如下：

# Manual hunk edit mode -- see bottom for a quick guide
@@ -20,4 +20,5 @@
 	><ul
 		><li>foo</li
-		><li>bar</li
+		><li>baz</li
+		><li>qux</li
 	></ul
# ---
# 这里会有一些操作说明，可以作为参考，我就不粘贴了。

　　以上展示了一处修改，我们删除了 bar 行，并增加了 baz、qux 两行。 @@ ... @@ 中的内容展示了修改所在的行号和修改前后的行数。紧接着是内容，在每行的行首第一个字符，表示行的类型，可以是空格、-、+。空格表示普通行，此行没有修改；- 表示删除的行，而 + 则表示新加的行。注意，此空格不是缩进。若你使用缩进符，则非常清晰；若使用空格符代替缩进符，则要仔细了，要多一个空格。

　　此时，若保存退出编辑器，则表示应用（加入/移出/丢弃）此修改，相当于直接敲 y。若我们将修改还原，即删除所有新加的行，即把删除的行取消删除，即将- 改为空格，则等于不应用此修改，相当于直接敲 n。若我们修改内容，则可以得到更多的效果。要注意不是所有修改都是允许的。

　　在 add 时，情况比较容易理解。例如我们修改为如下的样子：

 	><ul
-		><li>foo</li
+		><li>qux</li
 		><li>bar</li
+		><li>Baz</li
 	></ul

表示我不删除 bar 行，而删除 foo 行。 baz 行的内容进行修改。而 qux 行则换个位置插入。理解起来并不困难。我们可以总结出规律：在 add 时，空格行和 - 行可以相互转换，但的内容不能修改；而 + 行则可随意修改，删除，还可以在任意地方插入。

　　而 reset 时，情况就和 add 相反了。空格行和 + 行可以相互转换，但的内容不能修改；而 - 行则可随意修改，删除，还可以在任意地方插入。这让人十分费解，还是用例子说明吧。还是上面的内容，我们作如下编辑：

 	><ul
+		><li>foo</li
-		><li>Bar</li
+		><li>baz</li
 		><li>qux</li
-		><li>ET</li
 	></ul

我们得以“放弃”，“取消”这样的字眼来分析。我们将空格行 foo 改为 + 行，表示取消对 foo 行的添加。可 foo 行并非添加的，而是原来就在，所以就是删除 foo 行啰。删除的 bar 行改为 Bar 行，表示不放弃对 bar 行的删除，而取消对 Bar 行的删除。那么 bar 行还是要删，然后添加 Bar 行。取消不存在的删除，等于添加。即 bar 行改为 Bar 行。最后，放弃对 ET 行的删除，也等于新插入一个 ET 行。有点绕脑。有一个囫囵吞枣的办法：reset 时，把 + 当 -，把 - 当 + 就行了。

　　 checkout 时，由于方向和 reset 一致，因此允许的修改和效果，都和 reset 一致，是反的。区别只是 reset 改的是暂存区，而 checkout 改的是文件内容。因此，可以 checkout 来做做实验。躬行所悟，可比纸上所得要深刻百倍。

　　需要注意，对于新文件，add -p 是无效的，它会跳过这些文件，而 reset -p 则没有这个问题。对于新文件的 add，必须整个文件进行操作。

整个文件操作和全局操作

　　通常，用 -p 浏览一遍到底提交了些什么总是好的。但也会有需要整文件操作，甚至全局操作的时候。只是勿图方便而滥用。

git add file 将文件中的全部修改加入暂存区
git reset file 将文件中的全部修改从暂存区移出
git checkout file 放弃文件中的全部未加入暂存区的修改
git add . 将文件中的全部修改加入暂存区
git reset 将暂存区中的全部修改移出（清空购物车）
git checkout 全部未加入暂存区的修改

未完善的终极武器 `add --interactive`

　　 git add 中，还有一个更加新潮的选项：--interactive，简写为 -i。顾名思义，这也是一个交互界面。样子如下：

           staged     unstaged path
  1:    unchanged        +0/-1 TODO
  2:    unchanged        +1/-1 index.html

*** Commands ***
  1: status       2: update       3: revert       4: add untracked
  5: patch        6: diff         7: quit         8: help
What now>

上方显示 status 内容，与 git status 得到得主体内容差不多，列表得方式看起来更加清晰。下方显示可用的操作，一共有 8 个，此外还有个隐藏的 ?，分别为：

1 status         显示主界面，通常用于刷新
2 update         加入暂存区，相当于 add file
3 revert         移出暂存区，相当于 reset file
4 add untracked  新文件加入暂存区
5 patch          相当于 add -p file
6 diff           查看暂存区中的内容
7 quit           退出
8 help           帮助，关于以上操作
?                帮助，关于交互界面

实际使用时，敲数字或首字母即可，无需键入完整命令。

　　其中 u r a p d 为核心操作，执行后，会进入到二级界面，我们看到命令提示符由 > 变为 >>。这时候，我们可以选取要操作的文件。可用序号选择，也可输入文件名（前面一段，没有重复即可）。目前，文件名还不支持分段匹配、模糊匹配、* ?，也不支持 tab 键输入提示，和上下键输入历史，希望将来能有。但序号也够用了。在所选的序号或文件名前加 - 则表示取消选择。第一次回车，执行选择，然后可以继续选择。第二次回车，执行操作。

　　 add --interactive 给了我们一个很棒的操作方式，我们可流畅地操作，不必一而再再而三地执行 git status。就操作方式而言，可以说是终极武器。然而这个未来的终极武器还有需多不够完善之处。它有 add file、reset file 以及 add -p file 却缺少了 reset -p file、checkout file、checkout -p file。可以说只整合了一半的功能。最关键的 add -p file 和 reset -p file，就少了一个。我们只能先 reset file 再 add -p file。若文件中有很多修改，这会相当麻烦。因此，这个命令还需要观望。目前最佳方案，还是三个 patch，俗称 3P 大法。

利用 git 钩子自动部署

2018-12-01T17:00:00+08:00

　　在使用 git 管理 Web 项目，以及其它 Server 项目时，我们需要自动部署功能。在推送后，能将代码部署到工程目录，并执行一些部署命令。这就用到了 git 为我们提供的 post-update 钩子。

　　将脚本放在 git-dir/hooks 目录下，命名为 post-update，并增加可执行权限。当远端 git 仓库对本仓库发起推送，并推送成功后，该文件将被执行。你可以用任何你喜欢的脚本语言 bash、python、ruby、julia、PHP、Node.js…… 当然，编译型语言也行，只是不如脚本语言那样，便于阅读和修改。

#例 0.

　　对于简单的部署脚本，使用 bash 即可，例如：

#!/bin/bash
git --work-tree=/path-to/project-dir/ checkout "`git rev-list --tags --max-count=1`" -f >/dev/null

该脚本会将最新的 tag 检出到工程目录，是个常用的用例。

#例 1.

　　这是一个 Laravel 项目的例子，使用 PHP 编写：

#!/usr/bin/env php
<?php

$product_dir= '/path-to/project-dir/';
$test_dir= '/path-to/test-dir/';

switch( $argv[1] )
{
	case 'refs/heads/migrate':
		`git --work-tree=$test_dir checkout -f migrate`;
		`$test_dir/artisan migrate:fresh --seed`;
	
	case 'refs/heads/test':
		`git --work-tree=$test_dir checkout -f test`;
		`composer --working-dir=$product_dir dump-autoload`;
		`$product_dir/artisan migrate`;
	break;
	
	case 'refs/heads/composer':
		`git --work-tree=$test_dir checkout -f composer`;
		`composer --working-dir=$test_dir update`;
		`$test_dir/artisan vendor:publish --all`;
		`git --work-tree=$test_dir checkout -f test`;
		`composer --working-dir=$product_dir dump-autoload`;
		`$product_dir/artisan migrate`;
		
		`git --work-tree=$product_dir checkout -f composer`;
		`composer --working-dir=$product_dir update`;
		`$product_dir/artisan vendor:publish --all`;
	
	case 'refs/heads/product':
		`git --work-tree=$product_dir checkout -f "\`git rev-list --tags --max-count=1\`"`;
		`composer --working-dir=$product_dir dump-autoload`;
		`$product_dir/artisan migrate`;
		`$product_dir/artisan view:clear`;
		`$product_dir/artisan route:cache`;
	break;
}

　　此例中，我们检查了被推送的分支，并对不同的分支进行不同的操作。当 test 分支被推送，将该分支检出到测试目录，并应用新增的数据库迁移文件。当 migrate 分支被推送，将测试环境中的数据库刷新。当 product 分支被推送，将最新 tag 检出到生产目录，并处理数据库迁移、视图和路由的缓存。

#例 2.

　　这是本博客项目的部署脚本：

#!/usr/bin/env ruby

# 引入 git 的 API 库 rugged (基于 libgit2)，需要事先使用 gem 安装
require 'rugged'

# 引入 jekyll，需要事先使用 gem 安装
require 'jekyll'

git_repository= '/path-to/git-repository/'
project_dir= '/path-to/project-dir/'
web_root_dir= '/path-to/web_root_dir/'

repo= Rugged::Repository.new( git_repository, )

# 获取 tag 列表
tags= repo.tags.map{ |tag| tag.target }

# 构建回溯器，以 master 分支为起点进行回溯
walker= Rugged::Walker.new( repo, )
walker.push( repo.head.target, )

# 回溯获取 master 分支上最新的 tag
latest_tag= walker.find{ |commit| tags.include?(commit) }

# 检出此 tag 到项目目录
repo.workdir= project_dir
repo.checkout( latest_tag.oid, :strategy=>:force, )

# 构建 jekyll 项目
config= Jekyll.configuration( { 'source'=>project_dir, 'distination'=>web_root_dir, }, );
site= Jekyll::Site.new( config, );
site.process

　　与上面两个例子使用 CLI 不同，本例使用 API 来操作 git 仓库和构建项目。这看起来略显麻烦，但优势也是明显的。API 往往可以做得比 CLI 更多，也更加灵活。这里使用的 libgit2 就是非常棒 git API。它涵盖了 git 的所有功能，支持十余种编程语言或环境。并且它还是 git 的官方推荐 API 库。

　　以上是我在项目中使用的不同风格的 git post-update 例子。分享代码，更是分享思路，希望对带来参考价值。

转基因恐惧

2018-11-29T19:33:17+08:00

　　人怕黑。黑暗，意味着未知，而未知的事物，可能带来未知的伤害。由于未知，这种伤害，无法抵挡。因此，人们总是害怕自己所无法理解的事物。古人不敢吃螃蟹；慈禧害怕拍照，怕被摄走魂魄；思想透明的三体人，害怕充满计谋的人类；不了解基因科技的现代人，惧怕转基因技术。

　　解除这种恐惧，有三种方式：

去了解，第一个吃螃蟹的人享受了美味，并活了下来，人们了解螃蟹为何物，不再恐惧；
服用安慰剂，惧怕电脑辐射的人，种了一盆仙人掌（虽然并未放在辐射源与人体之间进行遮挡），不再恐惧；
见怪不怪，惧怕可乐杀精，可也没见谁因喝可乐而不育，也没有相关报道，虽然不清楚真相，但慢慢也就不怕了。

　　了解了转基因是什么，你或许会担忧具体的某个转基因品种带来的影响（例如类似外来物种入侵的效果等），但不会惧怕转基因本身。要了解这个高科技技术，你需要一些生物学知识，和基本的科学态度。残酷的现实是：大部分国人不具备基本的科学素养和态度。科学是个必须有趣的事物。在我们的社会变得有趣之前，科学注定离这个社会很远。

　　当社会发展到大部分作物都经过基因改良的时候，想必会出现一些宣称具有“基因修复”、”基因保护“功能的保健品。惧怕转基因的人们会从吃高价的”非转“、”有机“蔬菜，转向吃普通蔬菜+基因保护类保健品的组合。

　　最后，基因保护类保健品会被淡忘，人们将像接受化肥农药那样接受转基因技术。而这项技术，也将更加成熟和稳定，广泛用于改良作物，治疗遗传病，甚至创造新的物种。

　　关于转基因食品的论战还在持续。“转基因婴儿”又引爆了舆论风波。我不想对伦理道德进行任何评价，只想说：每个人都是基因突变和自然选择的结果。人工修改基因和自然突变并无本质区别，人工选择与自然选择也并无物理上的差异。这两个婴儿与普通人没有任何客观区别，请社会平等对待。

巧妙的 CSS 变量

2018-11-26T20:12:21+08:00

　　在 CSS 中使用变量，是长期以来所有前端伙伴们的急迫诉求。通过构建工具，我们已经可以在 Sass 和 Less 中愉快地使用变量。那么 CSS 变量，又能给我们带来什么呢？仅仅是跟着走 Sass/Less 所走过的路吗？不，作为标准的亲儿子，CSS 变量有着无可比拟的优越性。

动态性

　　 Sass/Less 中的变量，在项目构建之后，被常量所替代。即，我们不可能通过客户端 JS 去访问，或动态地修改这些变量。它们归根结底，是静态的。而 CSS 变量，是动态的。@media 和 JS 可以动态地修改这些变量，而引用它们的地方，将同步改变。

更好的作用域规则

　　 CSS 变量，又称为“自定义属性”。从作用域的角度看，它不像 Sass/Less 的变量，而像普通的 CSS 属性。 Sass/Less 变量的作用域就是语法上的，也就是一对{}之间。而 CSS 变量，则和一般属性一样，通过选择器，绑定到 DOM 之上，并在 DOM 节点和其字节点中有效。 Sass/Less 变量的作用域取决于你怎么写，CSS 变量作用域取决于最终的 DOM 树。这有什么好处呢？别急，先来看一个例子。

组件化思想与自定义属性

button
{
	min-width: calc(var(--button-size, 1)*1rem);
	height: calc(var(--button-size, 1)*1rem);
}

body>main
{
	--button-size: 1.5;
}

　　这里我们给 button 设置尺寸，依据是变量 --button-size 的值，若不存在，则取缺省值为 1。这个规则，将应用于页面上所有的 <button> 上。又在 body>main 上设置了 --button-size: 1.5。规则作用于 <body> 下，直属的 <main> 上。容易预见，所有这个 <main> 中的 <button> 的高度为 1.5rem，而外部的 <button> 则高度为 1rem。

写 C 的伙伴：不科学！变量怎么能使用在先，定义在后？怎么能取到别的作用域下的变量？

　　让我们换个角度来理解问题，把 button 部分看作是函数，而将其中的 --button-size 看作参数（形参）。这个“函数”将在 <button> 被渲染时调用。而此时，body>main 上所赋予的值，将作为参数（实参）传入。

　　这个小例子体现出了封装，以及组件化的思想。 button 是这样一个组件，有着内部的样式，又向外暴露若干参数接口。可在各种场景中复用。而外界不对这个组件的普通样式进行入侵，只修改其所暴露的参数。此时，CSS 变量，就好似组件的自定义样式属性。

　　至此，还不是真正的组件化，我们必须以规范来避免外界的样式入侵。一旦不小心破坏规则，一切将乱套。所幸，我们已经有 Web Components。

结合 Web Components

　　 Custom Elements 中，组件里的样式表与外界几乎是隔离的。但 CSS 变量却可以穿透这个屏障。是十分便利的通信渠道。这是一个自定义元素内部 CSS 的例子。

:host
{
	--button-size: 1.5;
}

button
{
	font-size: var(--font-size, 1rem);
	min-width: calc(var(--button-size)*1rem);
	height: calc(var(--button-size)*1rem);
}

　　此例中，我们使用变量给自定义元素内部的 button 定义样式。与前面的例子是一样的。值得注意的是，我们在 :host 上声明了 --button-size ，而没有声明 --font-size。造成的区别就是：任何外层元素上定义的 --font-size 将对自定义元素内的 <button> 产生影响；而外部要想设置 --button-size 的值，必须直接定义在这个自定义元素上。两种方式，各有其适用的场景。 --button-size 的方式，适用于一般情况下组件接受外部参数。参数必须明确地直接传递给组件，避免混乱。而 --font-size 的方式，适用于读取全局或局部的配置，不可滥用。

与 JS 的交互

　　以下是 JS 操作样式的接口，可以操作普通的样式属性，以及自定义属性（CSS 变量）。

style instanceof CSSStyleDeclaration;
/*
 * style 可以是一个 DOM 的样式，例如：
 *   document.body.style
 *
 * 也可以是一个层叠样式表中的样式规则，例如：
 *   document.styleSheets[0].cssRules[0].style
 *
 * 还可以是一个CSS的层叠计算结果(只读)，例如：
 *   getComputedStyle( element, )
 */

// 获取一个样式属性的值，（总是得到字符串，即便样式不存在）
const value= style.getPropertyValue( '--foo', );

// 设置一个样式属性，（接受的值也被转为字符串）
style.setProperty( '--foo', value, );

// 移除一个样式属性
style.removeProperty( '--foo', );

　　即便是普通 CSS 属性，这也是更好的操作方式。推荐统一使用这套接口操作样式。

// good
style.setProperty( 'z-index', '1', );
style.setProperty( 'float', 'left', );

// bad
style.zIndex= '1';
style.cssFloat= 'left';

　　有一种场景是，JS 捕获用户事件后，获取事件参数，例如鼠标的位置；并读取一些布局信息，例如某个 DOM 的宽高；再经过一系列计算后，将几个计算结果设置到该 DOM 的 style 上。这样，JS 就干涉了布局，与 CSS 强耦合，违背了关注点分离。由于存在对布局信息的读取，会引起额外的重绘。

　　使用 CSS 变量，则完美地解决了这个痛点。JS 中你只需将鼠标的位置传递给 CSS 变量，而无需注意其它细节。在 CSS 中通过 calc() 完成计算和布局。很好地遵循了关注点分离，也避免了额外的重绘。

数据类型

　　在 CSS 中，基本数据类型有数量，字符串，关键字，颜色等。此外，还有序列。这些类型的数据，都可以作为 CSS 变量的值。

.foo
{
	--an-int: 3;
	--a-float: 5.2;
	--with-unit: 80%;
	--a-color: white;
	--a-string: 'foobar';
	--a-keyword: left;
	--a-list: 1px 1px;
	--another-list: green , 1px;
	--more-another-list: 20% / 1em;
}

　　使用时，可以自由组合，计算。计算时，要注意结果的单位。而序列的组合，只要把 , 和 / 等符号，视为与 1px 等普通值一样的序列元素，便能理解其行为了。

.foo
{
	/* 以上变量的基本用例 */
	z-index: var(--an-int);
	font-size: var(--a-float);
	width: var(--with-unit);
	color: var(--a-color);
	font-family: var(--a-string);
	float: var(--a-keyword);
	margin: var(--a-list);
	border-radius: var(--more-another-list);
	
	/* 一些略复杂的用例 */
	background-color: hsla(var(--an-int),var(--with-unit),calc(var(--an-int)*20%));
	box-shadow: var(--a-list) 5px var(--another-list) 2px 2px red;
	border-radius: 4px 4px 4px var(--more-another-list) 4px 4px 4px;
}

结合过渡与动画

　　很遗憾，尚无浏览器支持 CSS 变量的过渡效果。只能对常规属性使用过渡效果或关键帧。

.foo
{
	--lightness: 80%;
	color: hsla(120,100%,var(--lightness));
	background-color: hsla(0,100%,var(--lightness));
	
	/* 尚不被支持 */
	transition:
		--lightness 500ms
	;
	
	/* 可行 */
	transition:
		color 500ms
		,
		background-color 500ms
	;
}

.foo:hover
{
	--lightness: 50%;
}

　　因此，有许多很棒的想法还不能实现。譬如色相与亮度以不同的速度变化，例如渐变背景的颜色控制等。期待未来的发展吧。