指數 | Fenzland

從利滾利到指數

正指數

　　人字拖從我這借了高利貸，年利率是 100%，借 1 元錢，第二年要還我 2 元。過了半年，他中了彩票，發了財，打算提前還錢。由於只借了半年，那麼利率應該折半，他應該還我 1.5 元。可我尋思著，他這是發了橫財，得好好撈他一筆，好好發揚高利貸利滾利的精神。如果我按季度結算利息，每個季度，應該是 25% 的利率。第一個季度，本息合計 $(1 + 25\%) \times 1元 = 1.25元$ 。這筆錢將作爲第二季度的本金。第二個季度過後應還的本息爲 $(1 + 25\%) \times 1.25元 = 1.5625元$ 。很棒，這下，他得多還 0.0625 元。還不夠，如果我一個月一個月計算利息，是不是能赚更多呢？第一個月的本息，應該是 $(1 + \frac{100\%}{12}) \times 1元$ ，而後續每個月，都以上一個月的本息作爲本金計算。六個月以後，應當是 $(1 + \frac{100\%}{12})^6 \times 1元 \approx 1.6165元$ 。若是每天計算一次，我能得到 $(1 + \frac{100\%}{366})^{366 \times \frac{1}{2}} \times 1元 \approx 1.6476元$ （那年是閏年）。計算得越密集，利滾利就發揮得越充分，我能得到的收益就越高。如果一年中計算 n 次，半年後，我能得到的本息爲 $(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元$ 。如果 n 趨向 ∞，則達到無限利滾利。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元 = e^\frac{1}{2} \times 1元 \approx 1.6487元$ 。我們將問題一般化，一年的增長週期替換爲 T ，而經歷的時間不再是半年，而是任意時間。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = e^\frac{t}{T}$ 。這便是指數增長，是一種越來越快，無法控制的增長。因此，可不要隨便去借高利貸。據說人字拖和人賭棋，輸了一棋盤的麥子，這輩子都沒法還清了。

　　現實世界中，“利滾利”的現象比比皆是。細菌的分裂，人口的增長（資源充足的情況下）…… 以細菌分裂爲例，在微觀的層面上，它們是離散的一分爲二，二分爲四。到了宏觀層面，由於分裂的頻率很快，就化爲了連續的指數增長。凡是自由增長的事物，都會滿足指數規律。

負指數

　　另一方面，增長率有時也會是負數，比如粒子的衰變。假設有一試管的某種粒子，共 N 個。這種粒子的壽命爲 T。那麼，和我借給人字拖的高利貸相反，T 時間後，粒子的數量似乎應該減少 100%。然而，粒子和行爲和宏觀物體不同，可不會等到壽命終了才開始衰變。它們的行爲依據概率，每一個時刻，都有衰變的可能性。而大自然總是將利滾利發揮到極致。經過時間 t 以後，粒子的數量爲： $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{-100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} \times N = e^\frac{-t}{T} \times N$ 這便是指數衰減，迅速衰減，卻又連綿不絕。即便粒子的壽命 T 是有限的，我這一試管粒子，卻能永遠有一部分存在下去，真正的日取其半，萬世不絕。

　　我們發現自然界中，許多事物的增長還是衰減，都滿足指數規律。爲什麼大自然會偏愛指數呢？讓我們找找這其中的共同點：不論是細菌的分裂，還是粒子的衰變，都是內源性的。其增長或衰減的緣由，都來自其本身。而那些外源性的增長和衰減，比如自由落體的速度增長，冰在陽光下融化等等。他們都不符合指數規律。內源性的增長/衰減，若增長率/衰減率保持恆定的話，增長/衰減應該正比於當前的基數。這便是指數，一種基於當前數量的，最簡單純粹的改變。

虛指數

　　指數增長和指數衰減，增長率分別爲正數和負數，分別是向着實數軸的兩個方向變化。在數學上，除了實數軸，還有虛數方向。設有一種虛數增長，增長週期爲 T 增長率爲 i100%。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{i100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = \cos(\frac{t}{T}) + i\sin(\frac{t}{T}) = e^\frac{-t}{T}$ 隨着 t 的增長，其結果繞着複平面的單位圓轉。這便是虛指數。爲什麼虛指數會表現爲旋轉呢？我們思考指數的現實意義：它表示一種恆定增長率的均勻改變，每一刻的增長與當前基數成正比，與歷史無關，也與其它因素無關。而在起點時刻，若基數爲 1。正數的增長率使得基數越來越大，向着數軸正方向；負數的增長率使得基數越來越小，向着數軸的負方向；同理，虛數的增長率，應該是垂直於實數軸的方向。實指數，即實數增長率的情況下，增長量與基數是同一方向（幅角相同）。因此貢獻了模長的增減，產生利滾利效果。而虛數的增長率，使得增長量總是垂直於基數。我們知道垂直方向的加速，不會改變速度大小，只會改變速度的方向。同樣，虛數的增長率不會改變基數的模，只會改變其幅角。因此，虛指數，表現爲轉圈。理解了這一點，相信讀者對歐拉公式會有原理性的認識。 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \,, \quad \theta \in \reals$

指數的冪級數展開

　　通過泰勒展開，我們得到指數函數的的冪級數： $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \, ... \quad x \in \reals$

　　函數的級數展開，是一種類似矢量的坐標分解的數學方法。區別在於函數世界的“坐標系”是無窮多維的。而不同的展開方法，相當於採用不同的“坐標系”。常用的“坐標系”有：泰勒－洛朗“坐標系”，傅里葉“坐標系” 等（此處爲筆者自造的稱呼，並非公認叫法）。冪級數展開，即筆者所謂“泰勒－洛朗坐標系”下的分解，本質上是將函數某一點的變化趨勢進行分解。不同的項，表徵了不同階的變化趨勢。若級數收斂，我們可以只取前 n 項，來一定精度地模擬原函數。這在數值計算中十分有用。

複指數

　　此外，由於冪函數的解析性。我們可以利用冪級數展開，將實函數的定義延拓到複數域。比如對於指數函數和三角函數，利用冪級數延拓到複數域爲： $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \,, \quad z \in \Complex$ 當 z 爲純虛數時，可表示爲 $z = i\theta$ 代入上式得： $e^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n \theta^n}{n!} \,, \quad \theta \in \reals$ 我們令 $k = \frac{n}{2}$ 使實部和虛部分離，得： $\begin{aligned} e^{i\theta} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k} \theta^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{ii^{2k} \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{aligned}$ 實部和虛部分別是 cos 與 sin 的冪級數，歐拉公式得證。

　　同樣的方法，我們也能得到普通複數的指數運算公式： $e^{a+ib} = e^a(\cos(b)+i\sin(b))$

若只清楚數學推導，而不瞭解原理，令人迷惑。反之只瞭解過原理，而沒有數學推導，則無異於紙上談兵，終等於零。上一節我們從原理上理解了什麼是虛指數，這一節則在數學上證明之。兩者結合，才能既透徹，又鞏固。當然，這並不代表達到了完美理解。在複指數的各種應用中，還會有更多的領悟。

矩陣指數

　　冪級數不但能將函數的定義域延拓到複數域，還能擴展到更多的系統中。只要這個系統中能定義整數次冪和加法兩個運算，例如矩陣。矩陣的指數運算定義如下： $e^\bold{A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\bold{A}^n}{n!}$ 這種運算有什麼意義呢？讓我們看一個例子。

　　我們知道矩陣可以理解爲線性變換。例如空間中的旋轉、斜切、縮放、反射、投影等變換，皆可用矩陣表示。就拿平面上角度爲 θ 的旋轉而言，可用如下的變換矩陣表示： $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 事實上，我們可用一個更簡潔的矩陣－－生成元矩陣表示這個旋轉： $\begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix}$ 通過指數，我們可由生成元得到變換矩陣： $e^{ \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 我們用 $\bold{\Theta}$ 表示旋轉生成元，有： $\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} \\ e^\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

當然，這個關係適用於任何線性變換，並不限於旋轉。爲了方便，我們僅以旋轉爲例進行說明。生成元矩陣有一個很好的特性，直接以角度表示矩陣，便於角度的相加，在多維的情況下，便於處理。

擴展－－黎曼曲率的理解

　　黎曼曲率，更是與旋轉生成元密切相關。爲了由淺入深，我們先從曲面上的高斯曲率說起。我們知道球面是彎曲的，而圓柱面和圓錐面是平直的（可以攤平），而越小的球面，越彎曲（難以鋪平）。那麼怎麼定義彎曲程度呢？我們注意一個現象：矢量（或任何事物）在平面上平移，無論經過什麼樣的路線，只要平移回原點，總是和原來重合的。但球面就不是這樣。假設一隻螃蟹開車從赤道上的一點向北出發，筆直前行，經過北極點後繼續向前，直至又到達赤道爲止。此時它下車步行，橫著穿過半個赤道走回原點。這隻螃蟹一直在平移，從未旋轉。但平移回原點後，方向竟然與開始時相反了。這便是曲面彎曲的內在特徵。如果仔細分析，我們會發現平移一週回到原點後，若是球面的話，偏差的角度與我們走過的路圍成的面積成正比。自然而然地，我們把偏差角度除以面積當作表徵彎曲程度的量，即高斯曲率。反過來說，球面上平移一週的偏差角度，就等於路徑圍成的面積乘以高斯曲率。均勻彎曲的球面用乘法即可，而一般的曲面，我們就使用面積分。曲面上平移一週的偏差角度，就等於高斯曲率在路徑圍成的區域內的面積分： $\Delta \theta = \oiint_{S}K dS$ 其中 K 爲高斯曲率。高斯曲率，本質上是環路平移偏差角度的環路面密度。 而環路面密度，本質上就是旋度。

　　可是，高斯曲率只能在曲面上定義，無法向高維推廣。原因是我們使用標量角度來表示旋轉。而三維及以上維度空間中的旋轉，是有不同方向的，不能只用一個標量表示。我們知道，旋轉，是面上的行爲。要有旋轉，至少得有兩個維度。旋轉時，每個點總是沿着某個面運動。（繞著某條軸轉動的說法，只適用於三維空間，不具有普適性。在二維空間中，是繞著某個點而非軸轉；而四維空間中，是繞著某個平面轉。而沿着平面轉動的說法，適用於任何維度的空間。）因此我們需要一個二維的，有方向的量，一個相當於“二階矢量”的事物。關於這種量，我們以後再展開討論。這裏，我們直接搬出答案：這樣的“二階矢量”有三種，而適合旋轉的，是其中一種－－反對稱矩陣。回顧上一小節，我們發現旋轉生成元，便是一個反對稱矩陣。旋轉生成元，相當於有方向的角度。我們可稱之爲有向角。用之表示旋轉，即可拓展到高維。我們使用旋轉生成元代替角度，高斯曲率就升級成爲黎曼曲率。上面的積分式改寫爲： $\Delta \bold{\Theta} = \oiint_{S}\bold{R} dS$ 其中 R 爲黎曼曲率。黎曼曲率，本質上是環路平移偏差有向角的環路面密度，即平移偏差有向角旋度。

矩陣的可交換積

　　矩陣的乘法，通常是不可交換的。這不難理解，矩陣對應線性變換。假設我們有一塊金磚，平放在一臺液壓機上。我們先把金磚豎起來，再壓扁；和先將金轉壓扁，再豎起來，順序不同，結果是不一樣的。但是，通過矩陣的指數和對數（爲指數的逆運算，也可通過冪級數定義），我們可以定義一種可交換積： $\bold{A} \boxtimes \bold{B} = e^{ ln(\bold{A}) + ln(\bold{B}) }$ 由於加法是可交換的，顯然，這種乘法是可交換的。與普通積所表示的線性變換先後進行不同，表示兩個線性變換同時進行。以剛纔的金塊爲例子，可交換積表示將金塊勻速轉動豎起的過程中，液壓機也在勻速下壓，最後是在兩個方向上都有所壓扁，並有所傾斜（斜方向也有所壓扁）的狀態。

總結

指數是恆定增長率的均勻改變，可以是正方向－－利滾利，負方向－－衰減，虛方向－－旋轉。自然界中，凡是自發的增長或衰減都滿足指數規律
冪級數是對函數的一種“矢量分解”，表徵某一點的各階變化趨勢。在數值計算方面上非常有用，更能將函數推廣到實數以外的領域，如複數域、矩陣。
指數推廣到複數域，有歐拉公式，關聯了指數和三角函數。
指數推廣到矩陣，有變換和生成元的關係。其中旋轉生成元，可以理解爲有方向的角，是理解黎曼曲率的關鍵。
通過矩陣指數和對數，還可以定義矩陣的可交換積。兩個矩陣的可交換積相當於兩個線性變換同時進行。