指数

从利滚利到指数

正指数

　　 人字拖从我这借了高利贷，年利率是 100%，借 1 元钱，第二年要还我 2 元。 过了半年，他中了彩票，发了财，打算提前还钱。由于只借了半年， 那么利率应该折半，他应该还我 1.5 元。可我寻思着，他这是发了横财， 得好好捞他一笔，好好发扬高利贷利滚利的精神。如果我按季度结算利息， 每个季度，应该是 25% 的利率。第一个季度，本息合计 $(1 + 25\%) \times 1元 = 1.25元$。 这笔钱将作为第二季度的本金。第二个季度过后应还的本息为 $(1 + 25\%) \times 1.25元 = 1.5625元$。 很棒，这下，他得多还 0.0625 元。 还不够，如果我一个月一个月计算利息，是不是能赚更多呢？ 第一个月的本息，应该是 $(1 + \frac{100\%}{12}) \times 1元$， 而后续每个月，都以上一个月的本息作为本金计算。六个月以后，应当是 $(1 + \frac{100\%}{12})^6 \times 1元 \approx 1.6165元$。 若是每天计算一次，我能得到 $(1 + \frac{100\%}{366})^{366 \times \frac{1}{2}} \times 1元 \approx 1.6476元$（那年是闰年）。 计算得越密集，利滚利就发挥得越充分，我能得到的收益就越高。 如果一年中计算 n 次，半年后，我能得到的本息为 $(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元$。 如果 n 趋向 ∞，则达到无限利滚利。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{1}{2}} \times 1元 = e^\frac{1}{2} \times 1元 \approx 1.6487元$。 我们将问题一般化，一年的增长周期替换为 T ，而经历的时间不再是半年，而是任意时间。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = e^\frac{t}{T}$。 这便是指数增长，是一种越来越快，无法控制的增长。因此，可不要随便去借高利贷。 据说人字拖和人赌棋，输了一棋盘的麦子，这辈子都没法还清了。

　　 现实世界中，“利滚利”的现象比比皆是。细菌的分裂，人口的增长（资源充足的情况下）…… 以细菌分裂为例，在微观的层面上，它们是离散的一分为二，二分为四。到了宏观层面， 由于分裂的频率很快，就化为了连续的指数增长。凡是自由增长的事物，都会满足指数规律。

负指数

　　 另一方面，增长率有时也会是负数，比如粒子的衰变。假设有一试管的某种粒子，共 N 个。 这种粒子的寿命为 T。那么，和我借给人字拖的高利贷相反，T 时间后， 粒子的数量似乎应该减少 100%。然而，粒子和行为和宏观物体不同，可不会等到寿命终了才开始衰变。 它们的行为依据概率，每一个时刻，都有衰变的可能性。 而大自然总是将利滚利发挥到极致。经过时间 t 以后，粒子的数量为： $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{-100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} \times N = e^\frac{-t}{T} \times N$ 这便是指数衰减，迅速衰减，却又连绵不绝。即便粒子的寿命 T 是有限的， 我这一试管粒子，却能永远有一部分存在下去，真正的日取其半，万世不绝。

　　 我们发现自然界中，许多事物的增长还是衰减，都满足指数规律。 为什么大自然会偏爱指数呢？让我们找找这其中的共同点： 不论是细菌的分裂，还是粒子的衰变，都是内源性的。其增长或衰减的缘由，都来自其本身。 而那些外源性的增长和衰减，比如自由落体的速度增长，冰在阳光下融化等等。他们都不符合指数规律。 内源性的增长/衰减，若增长率/衰减率保持恒定的话，增长/衰减应该正比于当前的基数。 这便是指数，一种基于当前数量的，最简单纯粹的改变。

虚指数

　　 指数增长和指数衰减，增长率分别为正数和负数，分别是向着实数轴的两个方向变化。 在数学上，除了实数轴，还有虚数方向。设有一种虚数增长，增长周期为 T 增长率为 i100%。 $\lim\limits_{n\rarr\infty}(1 + \frac{i100\%}{n})^{n \times \frac{t}{T}} = \cos(\frac{t}{T}) + i\sin(\frac{t}{T}) = e^\frac{-t}{T}$ 随着 t 的增长，其结果绕着复平面的单位圆转。这便是虚指数。 为什么虚指数会表现为旋转呢？我们思考指数的现实意义：它表示一种恒定增长率的均匀改变， 每一刻的增长与当前基数成正比，与历史无关，也与其它因素无关。 而在起点时刻，若基数为 1。正数的增长率使得基数越来越大，向着数轴正方向； 负数的增长率使得基数越来越小，向着数轴的负方向； 同理，虚数的增长率，应该是垂直于实数轴的方向。 实指数，即实数增长率的情况下，增长量与基数是同一方向（幅角相同）。 因此贡献了模长的增减，产生利滚利效果。而虚数的增长率，使得增长量总是垂直于基数。 我们知道垂直方向的加速，不会改变速度大小，只会改变速度的方向。 同样，虚数的增长率不会改变基数的模，只会改变其幅角。 因此，虚指数，表现为转圈。理解了这一点，相信读者对欧拉公式会有原理性的认识。 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \,, \quad \theta \in \reals$

指数的幂级数展开

　　 通过泰勒展开，我们得到指数函数的的幂级数： $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \, ... \quad x \in \reals$

　　 函数的级数展开，是一种类似矢量的坐标分解的数学方法。区别在于函数世界的“坐标系”是无穷多维的。 而不同的展开方法，相当于采用不同的“坐标系”。常用的“坐标系”有：泰勒－洛朗“坐标系”，傅里叶“坐标系” 等（此处为笔者自造的称呼，并非公认叫法）。 幂级数展开，即笔者所谓“泰勒－洛朗坐标系”下的分解，本质上是将函数某一点的变化趋势进行分解。 不同的项，表征了不同阶的变化趋势。若级数收敛，我们可以只取前 n 项，来一定精度地模拟原函数。 这在数值计算中十分有用。

复指数

　　 此外，由于幂函数的解析性。我们可以利用幂级数展开，将实函数的定义延拓到复数域。 比如对于指数函数和三角函数，利用幂级数延拓到复数域为： $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \,, \quad z \in \Complex$ 当 z 为纯虚数时，可表示为 $z = i\theta$ 代入上式得： $e^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n \theta^n}{n!} \,, \quad \theta \in \reals$ 我们令 $k = \frac{n}{2}$ 使实部和虚部分离，得： $\begin{aligned} e^{i\theta} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k} \theta^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{ii^{2k} \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{aligned}$ 实部和虚部分别是 cos 与 sin 的幂级数，欧拉公式得证。

　　 同样的方法，我们也能得到普通复数的指数运算公式： $e^{a+ib} = e^a(\cos(b)+i\sin(b))$

若只清楚数学推导，而不了解原理，令人迷惑。反之只了解过原理，而没有数学推导，则无异于纸上谈兵，终等于零。 上一节我们从原理上理解了什么是虚指数，这一节则在数学上证明之。两者结合，才能既透彻，又巩固。 当然，这并不代表达到了完美理解。在复指数的各种应用中，还会有更多的领悟。

矩阵指数

　　 幂级数不但能将函数的定义域延拓到复数域，还能扩展到更多的系统中。 只要这个系统中能定义整数次幂和加法两个运算，例如矩阵。 矩阵的指数运算定义如下： $e^\bold{A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\bold{A}^n}{n!}$ 这种运算有什么意义呢？让我们看一个例子。

　　 我们知道矩阵可以理解为线性变换。例如空间中的旋转、斜切、缩放、反射、投影等变换，皆可用矩阵表示。 就拿平面上角度为 θ 的旋转而言，可用如下的变换矩阵表示： $\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 事实上，我们可用一个更简洁的矩阵－－生成元矩阵表示这个旋转： $\begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix}$ 通过指数，我们可由生成元得到变换矩阵： $e^{ \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$ 我们用 $\bold{\Theta}$ 表示旋转生成元，有： $\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix} \\ e^\bold{\Theta} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

当然，这个关系适用于任何线性变换，并不限于旋转。为了方便，我们仅以旋转为例进行说明。 生成元矩阵有一个很好的特性，直接以角度表示矩阵，便于角度的相加，在多维的情况下，便于处理。

扩展－－黎曼曲率的理解

　　 黎曼曲率，更是与旋转生成元密切相关。为了由浅入深，我们先从曲面上的高斯曲率说起。 我们知道球面是弯曲的，而圆柱面和圆锥面是平直的（可以摊平），而越小的球面，越弯曲（难以铺平）。 那么怎么定义弯曲程度呢？我们注意一个现象：矢量（或任何事物）在平面上平移，无论经过什么样的路线， 只要平移回原点，总是和原来重合的。但球面就不是这样。假设一只螃蟹开车从赤道上的一点向北出发， 笔直前行，经过北极点后继续向前，直至又到达赤道为止。此时它下车步行，横着穿过半个赤道走回原点。 这只螃蟹一直在平移，从未旋转。但平移回原点后，方向竟然与开始时相反了。这便是曲面弯曲的内在特征。 如果仔细分析，我们会发现平移一周回到原点后，若是球面的话，偏差的角度与我们走过的路围成的面积成正比。 自然而然地，我们把偏差角度除以面积当作表征弯曲程度的量，即高斯曲率。反过来说，球面上平移一周的偏差角度， 就等于路径围成的面积乘以高斯曲率。均匀弯曲的球面用乘法即可，而一般的曲面，我们就使用面积分。 曲面上平移一周的偏差角度，就等于高斯曲率在路径围成的区域内的面积分： $\Delta \theta = \oiint_{S}K dS$ 其中 K 为高斯曲率。高斯曲率，本质上是环路平移偏差角度的环路面密度。 而环路面密度，本质上就是旋度。

　　 可是，高斯曲率只能在曲面上定义，无法向高维推广。原因是我们使用标量角度来表示旋转。 而三维及以上维度空间中的旋转，是有不同方向的，不能只用一个标量表示。 我们知道，旋转，是面上的行为。要有旋转，至少得有两个维度。旋转时，每个点总是沿着某个面运动。 （绕着某条轴转动的说法，只适用于三维空间，不具有普适性。在二维空间中，是绕着某个点而非轴转； 而四维空间中，是绕着某个平面转。而沿着平面转动的说法，适用于任何维度的空间。） 因此我们需要一个二维的，有方向的量，一个相当于“二阶矢量”的事物。关于这种量，我们以后再展开讨论。 这里，我们直接搬出答案：这样的“二阶矢量”有三种，而适合旋转的，是其中一种－－反对称矩阵。 回顾上一小节，我们发现旋转生成元，便是一个反对称矩阵。旋转生成元，相当于有方向的角度。我们可称之为有向角。 用之表示旋转，即可拓展到高维。我们使用旋转生成元代替角度，高斯曲率就升级成为黎曼曲率。上面的积分式改写为： $\Delta \bold{\Theta} = \oiint_{S}\bold{R} dS$ 其中 R 为黎曼曲率。黎曼曲率，本质上是环路平移偏差有向角的环路面密度，即平移偏差有向角旋度。

矩阵的可交换积

　　 矩阵的乘法，通常是不可交换的。这不难理解，矩阵对应线性变换。 假设我们有一块金砖，平放在一台液压机上。我们先把金砖竖起来，再压扁；和先将金转压扁，再竖起来， 顺序不同，结果是不一样的。 但是，通过矩阵的指数和对数（为指数的逆运算，也可通过幂级数定义），我们可以定义一种可交换积： $\bold{A} \boxtimes \bold{B} = e^{ ln(\bold{A}) + ln(\bold{B}) }$ 由于加法是可交换的，显然，这种乘法是可交换的。与普通积所表示的线性变换先后进行不同， 表示两个线性变换同时进行。以刚才的金块为例子，可交换积表示将金块匀速转动竖起的过程中， 液压机也在匀速下压，最后是在两个方向上都有所压扁，并有所倾斜（斜方向也有所压扁）的状态。

总结

• 指数是恒定增长率的均匀改变，可以是正方向－－利滚利，负方向－－衰减，虚方向－－旋转。 自然界中，凡是自发的增长或衰减都满足指数规律
• 幂级数是对函数的一种“矢量分解”，表征某一点的各阶变化趋势。在数值计算方面上非常有用， 更能将函数推广到实数以外的领域，如复数域、矩阵。
• 指数推广到复数域，有欧拉公式，关联了指数和三角函数。
• 指数推广到矩阵，有变换和生成元的关系。其中旋转生成元，可以理解为有方向的角，是理解黎曼曲率的关键。
• 通过矩阵指数和对数，还可以定义矩阵的可交换积。两个矩阵的可交换积相当于两个线性变换同时进行。