我們將區分無窮大（infitity）、無窮多（infinite many）、潛無窮（potential infinity）三個概念。

　　 潛無窮是一種無限增大的趨勢，而非一個真正的數。在極限，以及實分析中出現的 +∞ 和 -∞ 便是此種。 這是最容易理解的無窮概念，許多人所認識的“無窮大”，事實上就是這種潛無窮。 就像無限接近於 0 從未真正達到 0，無限增大也並不能真正達到一個叫無窮大的數，因此稱爲潛無窮。 而今天我們想討論的，則是與之相對的實無窮（actual infinity）。與潛無窮不同，它們都是實實在在的數。 實無窮中，其實又可分爲無窮大和無窮多，它們在不同的體系下被定義，一個屬於有理數，另一個則屬於自然數。 數學家們都意識到它們的區別，卻很少在命名上進行區分。筆者認爲使用不同的名稱來區分是十分必要的。

女媧補天之數——∞

　　 若女媧研究數學，她一定是那個給複數天空補上 ∞ 的人。 人類對數的認識從自然數，有理數到實數，再到複數。 在對複數的研究中，發現複數平面是不完整的，上面有一個漏洞。 需要補上一個數才能完整，這個數即 ∞。

　　 事實上，這個數的引入，完全不必等到那麼遲。它就是個由 1 和 0 構成的分數： ∞=10\infty=\frac{1}{0}。 早在有理數的時代，我們就可以引入並研究 ∞。 然而在數學上，這種顛覆常識性的進步總是困難的。 數學是這樣的一個學科：我們預設一些定義和公理，再用無懈可擊的邏輯， 從這些公理中推導出各種結論，從而構建一個完美無瑕體系。 爲了邏輯上的完美無瑕，或者爲了符合固有的慣性思維， 人們會選擇避開那些看起來不合理的事物。 例如柯西用有限代替無限，使微積分邏輯完美； 如 ZFC 爲了躲避羅素悖論，縮進了龜殼裏，限定只研究那些“正則”的集合， 把那些包含自身的集合排除在外； 歐幾里得憑着常識預設了第五公設，將幾何學釘死在平面上； 人們爲了避免得到有悖常識的古怪，禁止 0 作爲除數…… 然而，常識不應成爲數學的枷鎖。 與物理等自然科學不同，數學不要求其結論與現實世界相符。 數學完全可以研究那些現實中根本不存在（至少從未找到過）的事物， 比如高維空間、分數維空間，甚至複空間。 事實上，一個很普遍的情況是：隨着人類對世界認識的進步，那些“沒用”的， 甚至“不可理喻”的數學，被發現是世界所遵循的真理。 例如愛因斯坦揭示了我們的宇宙滿足彎曲的黎曼幾何，而非“天經地義”的歐幾里得幾何。 曾被認爲不存在的虛數，被用於各個領域，尤其是量子力學， 表明我們的宇宙天然就是複數的。卡西米爾效應遵循那“不可理喻”的 1+2+3...=−112 1+2+3...=-\frac{1}{12} 。 題外話至此，希望能說服那些堅持 0 不可作除數，或 ∞ 不是一個數的讀者。 只要定義明確，邏輯合理，∞ 就可以是一個數，這就是數學。

　　 我們解除 0 不作除數的限制。因爲任何我們已有的數乘以 0 都得 0， 所以 0 除以 0 應得到所有的這些數。一個運算有多個結果，這是一個多值運算。 這並非什麼新鮮玩意，我們已經接觸過多值運算： 2122^\frac{1}{2} 。它有2\sqrt{2}、−2-\sqrt{2}兩個值。 由於三角函數的週期性，反三角函數也有多個結果。爲了研究方便，我們通常將多值運算或函數單值化。 只取其中一個運算結果。這就需要在衆多結果中選擇一個合適的結果。 對於開方運算，反三角函數等，很容易作出選擇。但對於 00\frac{0}{0} 選擇。在一些情況下，有個唯一恰當的選擇，比如： sin⁡(x)x∣x=0\frac{\sin(x)}{x}|_{x=0} 此時 1 就是最好的選擇，可使函數在 0 點解析。 另外的一些時候，我們是無法將其單值化的。

　　 還是因爲任何已知的數乘以 0 都得 0，所以不爲 0 的數除以 0 就不等於任何這些數。 我們定義一個新的數： ∞=10\infty=\frac{1}{0}。 可以證明以下結論： 0=1∞0=\frac{1}{\infty} ∞+z=∞  ,z∈C  ,  z̸=∞\infty+z=\infty \;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= \infty ∞×z=∞  ,z∈C  ,  z̸=0\infty \times z=\infty\;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= 0

　　 這個新數像 0 一樣具有“坍塌性”。0 和任何有限的數相乘，都會坍塌回 0 本身。 而 ∞ 則比 0 有更強的坍塌性，∞ 對乘法和加法都坍塌。這使得我們此次擴充，只需增加一個數， 而不似 i=−1i=\sqrt{-1} 那次那樣帶來無數個新數。

　　 一個擺在面前的問題是，這個新數 ∞ 應該在實數軸或複平面上的什麼位置？ 我們考察1x\frac{1}{x}在 0 點附近的情況。 當 x 從左向右接近 0，函數值將無限增大，看來 ∞ 應該在實數軸正方向無窮遠處。 可當從右向左接近 0 時，函數值卻又無限減小，看來 ∞ 又應該在實數軸負方向無窮遠處。 不僅是實數軸，從複平面上的其它方向接近 0，我們會發現 ∞ 應該在任何方向的無窮遠處。 從另一個角度看，乘以不爲 0 的任何數都得到自身，從這點看，∞ 應像 0 一樣，穩坐正中， 不偏向任何方向。唯一的肯能便是，複平面的任何一個方向在無窮遠處都交匯於一點，即 ∞ 點。 這樣的結構，正是一個超級大球。事實上，我們可以將複平面投影到球上：讓球的南極點與 0 點重合， 從北極點發出射線將球上的點投影到複平面，建立一一對應關係。 於是南極點是 0 赤道是複平面單位圓，北極點正是 ∞ 點。這正是複球面。 ∞ 點就像女媧的補天之石，補上了球面頂上的缺口。 補天之後，實數軸也變爲了一個超級大圓，兩端在 ∞ 點相互對接。

　　 ∞ 便是真正的無窮大（infinity），無論再加上多少有限值，都等於自身，不能再增大。 作爲 0 的倒數，它的相反數爲自身，乘以任何非 0 數等於自身。與無窮趨勢 +∞ 與 -∞ 不同， ∞ 是真正的數。+∞ 與 -∞ 則只是兩個趨近於 ∞ 的方向。 同樣，我們也可以用 +0 和 -0 表示兩個趨近於 0 的方向。

無窮多

　　 ∞ 在定義上是一個分數，而非自然數。不能用於表示個數上的無窮。 爲表示個數上的無窮，我們需要定義自然數的無窮，我們稱之爲無窮多（infinite many）。 並且，我們希望弄清楚無窮多和無窮大是否等價。

　　 我們知道的無窮多有，整數的個數，偶數的個數，有理數的個數，實數的個數， 複數的個數，去羅馬的路的數量等。這些事物能否比較多少？哪樣比較多呢？ 爲此，我們需要定義一個比較事物多少的方式，能用於無窮多個事物的比較方式。

　　 讓我們回到不會數數的原始部落，酋長不幸虎口遇難。留下二子，他們將通過打獵競賽來決定誰來繼承酋長之位。 他們自日出之時外出捕獵野兔，日落之時回到祭壇，誰補的野兔更多，即當選酋長。若一樣多，則第二日加賽。 由於部落的人不會數數，他們無法像現代人一樣，數出野兔的個數再比較。 他們只能用一一對應的方式：雙方各取一隻野兔，擺在祭壇上，然後重複此過程，直到有人的野兔用完。 最後誰的野兔還有剩餘，則勝出。若二人的野兔同時用完，則爲平局。 這種方式非常好，我們甚至不需要具體定義數，便可比較兩批事物個數的大小。 我們就以這種方式來定義整數之間的大小關係。用數學語言，便是：

即：兩個集合之間若能建立一一到上的映射，則它們的基數相等； 否則，若從 A 到 B 能建立到上映射，則 A 的基數大於 B 的； 否則，B 的基數大於 A 的。

現在，我們嘗試比較各種無窮多的大小。 先是整數和偶數，我們可以很容易構建這樣的對應關係：一個整數，對應它二倍的偶數。如圖所示：

… -2 -1 0 1 2 3 …
… -4 -2 0 2 4 6 …

根據大小關係的定義，整數的數量等於偶數的數量。 這是違反直覺的，在我們的常識中，整體應當大於部分。 我們審視這個常識。它其實是上面公理在有限數量條件下的推論。 在我們將研究範圍擴大的時候，有可能不再成立。 就像三角形內角和爲 π，是歐幾里得幾何的推論，到了黎曼幾何中不再成立。 在無窮多的比較中，部分小於等於整體。這就是爲什麼希爾伯特的旅館即便住滿了，仍能接待新的旅客。 同樣的方法，我們可以得出，例如自然數、奇數等整數的各種無窮子集，數量都相同。 例如整數與自然數的一一對應可爲：

0 1 2 3 4 5 …
0 -1 1 -2 2 -3 …

我們記這個整數爲 ℵ0\aleph_0。

　　 我們再看有理數的數量。有理數即分數，可以表示爲兩個整數之比。我們將其如下排列，並與自然數一一對應：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …
0/1 1/1 -1/1 1/2 2/1 -1/2 -2/1 1/3 3/1 -1/3 -3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 …

這裏的排列方法是規律是分子和分母的和爲 0、1、-1、2、-2……再剔除可約分的分數。當然，可行的排列方案還有很多。 可見有理數的數量是與整數相同的，也爲 ℵ0\aleph_0。 我們也能總結出這樣的規律：只要能一個一個列出來的事物，數量都是 ℵ0\aleph_0。 這樣的性質，我們稱之爲可列性。

　　 那麼實數的數量是否也一樣呢？換句話說，實數是否可列？ 我們假設存在一個列表，列出所有的實數。我們先將列中的數寫爲某進制下的小數。 現在我們構造一個新的實數，小數點後第一位不同於列表中的第一個實數， 小數點後第二位不同於列表中的第二個實數，第三位不同於第三個實數，依此類推。這個新的實數顯然不在這個列表之中。 與假設矛盾。因此無法構造這樣一個列表。實數是不可列的。由於可以建立實數到整數的到上映射，例如取整映射， 因此實數數量大於 ℵ0\aleph_0。 我們記實數的數量數爲 ℵ1\aleph_1。

　　 複數的數量又如何？我們知道它一定不會小於實數的數量，疑問在於是大於還是等於。 我們將複數的實部和虛部分別寫爲某進制下的小數，再將兩個小數的按照位數相互穿插，得到一個新的小數。 例如 210.12 + i333.33，構造出新數 323130.3132。如此構成映射。 每一個複數都能得到唯一的實數；而反過來，每個實數，也能拆開，得到一個複數，構成一一到上的映射。 因此，複數與實數一樣多。 我們還又知道實數與直線上的點是一一對應的，複數則與平面上的點一一對應。 這就導致平面上的所有點與直線上所有點一一對應，都爲 ℵ1\aleph_1。 同樣的方式，任何有限維空間的點的數量也是 ℵ1\aleph_1。

是否存在一個自然數介於 ℵ0\aleph_0 與 ℵ1\aleph_1 之間呢？ 數學家猜測不存在這樣的數，但尚未證明之。人們稱此命題爲連續統假設。與黎曼假設一樣，這是數學上又一個重要的猜想。 如今數學家已經證明，在 ZFC 框架下，我們不能證明，也不能證僞連續統假設。因此，若想要解決這個問題，必須跳出 ZFC 的龜殼。 目前，除非以連續統假設作爲研究對象，我們一般選擇相信連續統假設， 認爲 ℵ0\aleph_0 與 ℵ1\aleph_1 之間不存在自然數。

　　 我們考慮拋硬幣遊戲。倘若我們拋一個硬幣，則得到的結果有兩種可能； 同時拋兩枚硬幣，則會有 22=42^2=4 種可能的結果； n 個硬幣，便有 2n2^n 種可能； ℵ0\aleph_0 個硬幣，便有 2ℵ02^{\aleph_0} 種可能。 這個 2ℵ02^{\aleph_0} 是什麼呢？ 讓我麼設想一個二進制小數，有無窮多位，準確地說是 ℵ0\aleph_0 位。 每一個數位，可對應一枚硬幣，那麼每一種丟硬幣的可能結果，便對應上了一個小數，或者說，一個實數。 這就證明： ℵ1=2ℵ0\aleph_1=2^{\aleph_0}。 而 2 進制並非唯一的進制，所以這個 2 我們也能換成其它整數，甚至是 ℵ0\aleph_0。 我們能擴展這個等式爲： ℵ1=nℵ0=ℵ0ℵ0\aleph_1=n^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}

根據這個規律，我們可以構建更大的無窮多： ℵ2=2ℵ1\aleph_2=2^{\aleph_1}， ℵn+1=2ℵn\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}, 甚至 ℵℵ0\aleph_{\aleph_0}， ℵℵ1\aleph_{\aleph_1}……

　　 通過和丟硬幣類似的方法，我們可以得到， 函數的數量爲 ℵ2\aleph_2； 泛函的數量爲 ℵ3\aleph_3…… 由於函數對應曲線，去羅馬的道路便也有 ℵ2\aleph_2 條。

　　 無窮多與無窮大是不等價的。無窮大只有一個，而無窮多有 ℵ0\aleph_0 個。 無窮大是有理數、實數和複數，能進行複數的任何運算，而無窮多是自然數，只能進行自然數的運算， 包括加法、乘法、冪運算、減法（禁止小減大）、整除法（結果不是數，而是整商和餘數組成的數對）等。 無窮多是所有有限數的公倍數，是和數。

總結

　　 有潛無窮和實無窮，潛無窮是無窮增大的趨勢，並非真正的無窮。 實無窮又有無窮大和無窮多兩種，分別以分數和自然數的方式定義，二者不等價。 無窮大是 0 的倒數，完善實數軸和複數平面。無窮多作爲自然數，其定義離不開集合的概念。 有不同層級的無窮多。我們一般認爲兩個相鄰級別的無窮多之間，不存在其它自然數，但尚不能證明。 是爲連續統假設。無窮大和無窮多不等價，研究連續理論時，關心無窮大。而研究離散理論時，關心無窮多。