我们将区分无穷大（infitity）、无穷多（infinite many）、潜无穷（potential infinity）三个概念。

　　 潜无穷是一种无限增大的趋势，而非一个真正的数。在极限，以及实分析中出现的 +∞ 和 -∞ 便是此种。 这是最容易理解的无穷概念，许多人所认识的“无穷大”，事实上就是这种潜无穷。 就像无限接近于 0 从未真正达到 0，无限增大也并不能真正达到一个叫无穷大的数，因此称为潜无穷。 而今天我们想讨论的，则是与之相对的实无穷（actual infinity）。与潜无穷不同，它们都是实实在在的数。 实无穷中，其实又可分为无穷大和无穷多，它们在不同的体系下被定义，一个属于有理数，另一个则属于自然数。 数学家们都意识到它们的区别，却很少在命名上进行区分。笔者认为使用不同的名称来区分是十分必要的。

女娲补天之数——∞

　　 若女娲研究数学，她一定是那个给复数天空补上 ∞ 的人。 人类对数的认识从自然数，有理数到实数，再到复数。 在对复数的研究中，发现复数平面是不完整的，上面有一个漏洞。 需要补上一个数才能完整，这个数即 ∞。

　　 事实上，这个数的引入，完全不必等到那么迟。它就是个由 1 和 0 构成的分数： ∞=10\infty=\frac{1}{0}。 早在有理数的时代，我们就可以引入并研究 ∞。 然而在数学上，这种颠覆常识性的进步总是困难的。 数学是这样的一个学科：我们预设一些定义和公理，再用无懈可击的逻辑， 从这些公理中推导出各种结论，从而构建一个完美无瑕体系。 为了逻辑上的完美无瑕，或者为了符合固有的惯性思维， 人们会选择避开那些看起来不合理的事物。 例如柯西用有限代替无限，使微积分逻辑完美； 如 ZFC 为了躲避罗素悖论，缩进了龟壳里，限定只研究那些“正则”的集合， 把那些包含自身的集合排除在外； 欧几里得凭着常识预设了第五公设，将几何学钉死在平面上； 人们为了避免得到有悖常识的古怪，禁止 0 作为除数…… 然而，常识不应成为数学的枷锁。 与物理等自然科学不同，数学不要求其结论与现实世界相符。 数学完全可以研究那些现实中根本不存在（至少从未找到过）的事物， 比如高维空间、分数维空间，甚至复空间。 事实上，一个很普遍的情况是：随着人类对世界认识的进步，那些“没用”的， 甚至“不可理喻”的数学，被发现是世界所遵循的真理。 例如爱因斯坦揭示了我们的宇宙满足弯曲的黎曼几何，而非“天经地义”的欧几里得几何。 曾被认为不存在的虚数，被用于各个领域，尤其是量子力学， 表明我们的宇宙天然就是复数的。卡西米尔效应遵循那“不可理喻”的 1+2+3...=−112 1+2+3...=-\frac{1}{12} 。 题外话至此，希望能说服那些坚持 0 不可作除数，或 ∞ 不是一个数的读者。 只要定义明确，逻辑合理，∞ 就可以是一个数，这就是数学。

　　 我们解除 0 不作除数的限制。因为任何我们已有的数乘以 0 都得 0， 所以 0 除以 0 应得到所有的这些数。一个运算有多个结果，这是一个多值运算。 这并非什么新鲜玩意，我们已经接触过多值运算： 2122^\frac{1}{2} 。它有2\sqrt{2}、−2-\sqrt{2}两个值。 由于三角函数的周期性，反三角函数也有多个结果。为了研究方便，我们通常将多值运算或函数单值化。 只取其中一个运算结果。这就需要在众多结果中选择一个合适的结果。 对于开方运算，反三角函数等，很容易作出选择。但对于 00\frac{0}{0} 选择。在一些情况下，有个唯一恰当的选择，比如： sin⁡(x)x∣x=0\frac{\sin(x)}{x}|_{x=0} 此时 1 就是最好的选择，可使函数在 0 点解析。 另外的一些时候，我们是无法将其单值化的。

　　 还是因为任何已知的数乘以 0 都得 0，所以不为 0 的数除以 0 就不等于任何这些数。 我们定义一个新的数： ∞=10\infty=\frac{1}{0}。 可以证明以下结论： 0=1∞0=\frac{1}{\infty} ∞+z=∞  ,z∈C  ,  z̸=∞\infty+z=\infty \;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= \infty ∞×z=∞  ,z∈C  ,  z̸=0\infty \times z=\infty\;,\quad z \in \Complex \;,\; z \not= 0

　　 这个新数像 0 一样具有“坍塌性”。0 和任何有限的数相乘，都会坍塌回 0 本身。 而 ∞ 则比 0 有更强的坍塌性，∞ 对乘法和加法都坍塌。这使得我们此次扩充，只需增加一个数， 而不似 i=−1i=\sqrt{-1} 那次那样带来无数个新数。

　　 一个摆在面前的问题是，这个新数 ∞ 应该在实数轴或复平面上的什么位置？ 我们考察1x\frac{1}{x}在 0 点附近的情况。 当 x 从左向右接近 0，函数值将无限增大，看来 ∞ 应该在实数轴正方向无穷远处。 可当从右向左接近 0 时，函数值却又无限减小，看来 ∞ 又应该在实数轴负方向无穷远处。 不仅是实数轴，从复平面上的其它方向接近 0，我们会发现 ∞ 应该在任何方向的无穷远处。 从另一个角度看，乘以不为 0 的任何数都得到自身，从这点看，∞ 应像 0 一样，稳坐正中， 不偏向任何方向。唯一的肯能便是，复平面的任何一个方向在无穷远处都交汇于一点，即 ∞ 点。 这样的结构，正是一个超级大球。事实上，我们可以将复平面投影到球上：让球的南极点与 0 点重合， 从北极点发出射线将球上的点投影到复平面，建立一一对应关系。 于是南极点是 0 赤道是复平面单位圆，北极点正是 ∞ 点。这正是复球面。 ∞ 点就像女娲的补天之石，补上了球面顶上的缺口。 补天之后，实数轴也变为了一个超级大圆，两端在 ∞ 点相互对接。

　　 ∞ 便是真正的无穷大（infinity），无论再加上多少有限值，都等于自身，不能再增大。 作为 0 的倒数，它的相反数为自身，乘以任何非 0 数等于自身。与无穷趋势 +∞ 与 -∞ 不同， ∞ 是真正的数。+∞ 与 -∞ 则只是两个趋近于 ∞ 的方向。 同样，我们也可以用 +0 和 -0 表示两个趋近于 0 的方向。

无穷多

　　 ∞ 在定义上是一个分数，而非自然数。不能用于表示个数上的无穷。 为表示个数上的无穷，我们需要定义自然数的无穷，我们称之为无穷多（infinite many）。 并且，我们希望弄清楚无穷多和无穷大是否等价。

　　 我们知道的无穷多有，整数的个数，偶数的个数，有理数的个数，实数的个数， 复数的个数，去罗马的路的数量等。这些事物能否比较多少？哪样比较多呢？ 为此，我们需要定义一个比较事物多少的方式，能用于无穷多个事物的比较方式。

　　 让我们回到不会数数的原始部落，酋长不幸虎口遇难。留下二子，他们将通过打猎竞赛来决定谁来继承酋长之位。 他们自日出之时外出捕猎野兔，日落之时回到祭坛，谁补的野兔更多，即当选酋长。若一样多，则第二日加赛。 由于部落的人不会数数，他们无法像现代人一样，数出野兔的个数再比较。 他们只能用一一对应的方式：双方各取一只野兔，摆在祭坛上，然后重复此过程，直到有人的野兔用完。 最后谁的野兔还有剩余，则胜出。若二人的野兔同时用完，则为平局。 这种方式非常好，我们甚至不需要具体定义数，便可比较两批事物个数的大小。 我们就以这种方式来定义整数之间的大小关系。用数学语言，便是：

即：两个集合之间若能建立一一到上的映射，则它们的基数相等； 否则，若从 A 到 B 能建立到上映射，则 A 的基数大于 B 的； 否则，B 的基数大于 A 的。

现在，我们尝试比较各种无穷多的大小。 先是整数和偶数，我们可以很容易构建这样的对应关系：一个整数，对应它二倍的偶数。如图所示：

… -2 -1 0 1 2 3 …
… -4 -2 0 2 4 6 …

根据大小关系的定义，整数的数量等于偶数的数量。 这是违反直觉的，在我们的常识中，整体应当大于部分。 我们审视这个常识。它其实是上面公理在有限数量条件下的推论。 在我们将研究范围扩大的时候，有可能不再成立。 就像三角形内角和为 π，是欧几里得几何的推论，到了黎曼几何中不再成立。 在无穷多的比较中，部分小于等于整体。这就是为什么希尔伯特的旅馆即便住满了，仍能接待新的旅客。 同样的方法，我们可以得出，例如自然数、奇数等整数的各种无穷子集，数量都相同。 例如整数与自然数的一一对应可为：

0 1 2 3 4 5 …
0 -1 1 -2 2 -3 …

我们记这个整数为 ℵ0\aleph_0。

　　 我们再看有理数的数量。有理数即分数，可以表示为两个整数之比。我们将其如下排列，并与自然数一一对应：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …
0/1 1/1 -1/1 1/2 2/1 -1/2 -2/1 1/3 3/1 -1/3 -3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 …

这里的排列方法是规律是分子和分母的和为 0、1、-1、2、-2……再剔除可约分的分数。当然，可行的排列方案还有很多。 可见有理数的数量是与整数相同的，也为 ℵ0\aleph_0。 我们也能总结出这样的规律：只要能一个一个列出来的事物，数量都是 ℵ0\aleph_0。 这样的性质，我们称之为可列性。

　　 那么实数的数量是否也一样呢？换句话说，实数是否可列？ 我们假设存在一个列表，列出所有的实数。我们先将列中的数写为某进制下的小数。 现在我们构造一个新的实数，小数点后第一位不同于列表中的第一个实数， 小数点后第二位不同于列表中的第二个实数，第三位不同于第三个实数，依此类推。这个新的实数显然不在这个列表之中。 与假设矛盾。因此无法构造这样一个列表。实数是不可列的。由于可以建立实数到整数的到上映射，例如取整映射， 因此实数数量大于 ℵ0\aleph_0。 我们记实数的数量数为 ℵ1\aleph_1。

　　 复数的数量又如何？我们知道它一定不会小于实数的数量，疑问在于是大于还是等于。 我们将复数的实部和虚部分别写为某进制下的小数，再将两个小数的按照位数相互穿插，得到一个新的小数。 例如 210.12 + i333.33，构造出新数 323130.3132。如此构成映射。 每一个复数都能得到唯一的实数；而反过来，每个实数，也能拆开，得到一个复数，构成一一到上的映射。 因此，复数与实数一样多。 我们还又知道实数与直线上的点是一一对应的，复数则与平面上的点一一对应。 这就导致平面上的所有点与直线上所有点一一对应，都为 ℵ1\aleph_1。 同样的方式，任何有限维空间的点的数量也是 ℵ1\aleph_1。

是否存在一个自然数介于 ℵ0\aleph_0 与 ℵ1\aleph_1 之间呢？ 数学家猜测不存在这样的数，但尚未证明之。人们称此命题为连续统假设。与黎曼假设一样，这是数学上又一个重要的猜想。 如今数学家已经证明，在 ZFC 框架下，我们不能证明，也不能证伪连续统假设。因此，若想要解决这个问题，必须跳出 ZFC 的龟壳。 目前，除非以连续统假设作为研究对象，我们一般选择相信连续统假设， 认为 ℵ0\aleph_0 与 ℵ1\aleph_1 之间不存在自然数。

　　 我们考虑抛硬币游戏。倘若我们抛一个硬币，则得到的结果有两种可能； 同时抛两枚硬币，则会有 22=42^2=4 种可能的结果； n 个硬币，便有 2n2^n 种可能； ℵ0\aleph_0 个硬币，便有 2ℵ02^{\aleph_0} 种可能。 这个 2ℵ02^{\aleph_0} 是什么呢？ 让我么设想一个二进制小数，有无穷多位，准确地说是 ℵ0\aleph_0 位。 每一个数位，可对应一枚硬币，那么每一种丢硬币的可能结果，便对应上了一个小数，或者说，一个实数。 这就证明： ℵ1=2ℵ0\aleph_1=2^{\aleph_0}。 而 2 进制并非唯一的进制，所以这个 2 我们也能换成其它整数，甚至是 ℵ0\aleph_0。 我们能扩展这个等式为： ℵ1=nℵ0=ℵ0ℵ0\aleph_1=n^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}

根据这个规律，我们可以构建更大的无穷多： ℵ2=2ℵ1\aleph_2=2^{\aleph_1}， ℵn+1=2ℵn\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}, 甚至 ℵℵ0\aleph_{\aleph_0}， ℵℵ1\aleph_{\aleph_1}……

　　 通过和丢硬币类似的方法，我们可以得到， 函数的数量为 ℵ2\aleph_2； 泛函的数量为 ℵ3\aleph_3…… 由于函数对应曲线，去罗马的道路便也有 ℵ2\aleph_2 条。

　　 无穷多与无穷大是不等价的。无穷大只有一个，而无穷多有 ℵ0\aleph_0 个。 无穷大是有理数、实数和复数，能进行复数的任何运算，而无穷多是自然数，只能进行自然数的运算， 包括加法、乘法、幂运算、减法（禁止小减大）、整除法（结果不是数，而是整商和余数组成的数对）等。 无穷多是所有有限数的公倍数，是和数。

总结

　　 有潜无穷和实无穷，潜无穷是无穷增大的趋势，并非真正的无穷。 实无穷又有无穷大和无穷多两种，分别以分数和自然数的方式定义，二者不等价。 无穷大是 0 的倒数，完善实数轴和复数平面。无穷多作为自然数，其定义离不开集合的概念。 有不同层级的无穷多。我们一般认为两个相邻级别的无穷多之间，不存在其它自然数，但尚不能证明。 是为连续统假设。无穷大和无穷多不等价，研究连续理论时，关心无穷大。而研究离散理论时，关心无穷多。