回顾实三角函数

　　 从名字来看，我们有把握肯定，三角函数最初是源自于三角形，也即源自于几何学。 而在几何中，三角函数，是一组关于角和边的关系。因此，我们首要的任务， 就是找到一个合适的方法，来度量角的大小。

角的度量

　　 我们不难发现，角的性质与长度是很像的。我们可以用纸片剪出两个角，拼在一起进行加法， 叠在一起比较大小，对叠后沿着边线剪上一刀进行减法，还能用对折的方法将一个角平分，或是几等分。 我们尝试用一个圆规，在这些小纸片上画一些弧线，让它们的圆心都在角的定点，并且半径都相同。 我们发现，当我们将两个角相拼的时候，弧线也拼成了更长的弧线。将角剪开的时候，弧线也按照相同的比例被切割。 看起来，弧线的长短，似乎可以代表角的大小。更严谨一点，即，角的大小，和弧线的长短成正比。 很显然，弧线的长短还和半径有关。对于同一个角，半径越大，显然弧线会越长。但是弧长与半径的比总是恒定的。 理所当然地，我们就以这个比值表示角的大小： θ=sr \theta = \frac{s}{r} 现在，我们能够描述出任意角的大小了。我们发现所有的直角，大小都是一样的（这是当然的， 否则说明我们的度量方法有问题）。它们的大小约等于 1.57，而平角则约等于 3.14，周角则约为 6.28。 数学家的工作表明：这些数字都是无理数，并且是超越数。我们把平角的大小叫做“圆周率”（也许叫“半圆周率”更合适吧）， 记为 π\pi。笔者习惯于使用周角的大小，将其记为大写的 Π\Pi，即 Π=2π\Pi = 2\pi，称为“全圆周率”。

单位圆与三角函数

　　 三角函数的几何定义，是直角三角形中某两条边的比。 如果结合单位圆，我们能够以一些线段的长度来表示三角函数：

θ sin(θ) cos(θ) tan(θ) cot(θ) csc(θ) sec(θ)

影子与三角函数

三角函数的数学性质

　　 我们来温习三角函数之间的关系： sin⁡(θ)2+cos⁡(θ)2=1sec⁡(θ)2−tan⁡(θ)2=1csc⁡(θ)2−cot⁡(θ)2=1tan⁡(θ)cos⁡(θ)=sin⁡(θ)sin⁡(θ)cot⁡(θ)=cos⁡(θ)cos⁡(θ)csc⁡(θ)=cot⁡(θ)cot⁡(θ)sec⁡(θ)=csc⁡(θ)csc⁡(θ)tan⁡(θ)=sec⁡(θ)sec⁡(θ)sin⁡(θ)=tan⁡(θ)tan⁡(θ)cot⁡(θ)=1sin⁡(θ)csc⁡(θ)=1cos⁡(θ)sec⁡(θ)=1 \begin{matrix} \sin(\theta)^2 + \cos(\theta)^2 = 1 & \sec(\theta)^2 - \tan(\theta)^2 = 1 & \csc(\theta)^2 - \cot(\theta)^2 = 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \tan(\theta) \cos(\theta) = \sin(\theta) & \sin(\theta) \cot(\theta) = \cos(\theta) & \cos(\theta) \csc(\theta) = \cot(\theta) \\ \cot(\theta) \sec(\theta) = \csc(\theta) & \csc(\theta) \tan(\theta) = \sec(\theta) & \sec(\theta) \sin(\theta) = \tan(\theta) \\ \tan(\theta) \cot(\theta) = 1 & \sin(\theta) \csc(\theta) = 1 & \cos(\theta) \sec(\theta) = 1 \end{matrix}

三角函数与双曲函数

　　

复数的三角函数

欧拉公式带来的启示

　　 在指数指数一章中，我们介绍了欧拉公式： eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ) e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)

　　 一方面，该公式说明了虚指数的性质；另一方面，也表明了三角函数和指数函数的关系。 通过该公式，我们很容易能反过来得到： cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2 ,sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,, \qquad \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} 对比双曲函数的定义： cosh⁡(x)=ex+e−x2 ,sinh⁡(x)=ex−e−x2 \cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \,, \qquad \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} 我们发现二者有十分相似的结构，而且都与指数函数密切相关。两组函数之间的相似性得到了解释。

　　 由于指数函数良好的解析性，我们能轻松地将三角函数和双曲函数都推广到复数域： cos⁡(z)=eiz+e−iz2 ,sin⁡(z)=eiz−e−iz2icosh⁡(z)=ez+e−z2 ,sinh⁡(z)=ez−e−z2 \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \,, \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\ \cosh(z) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \,, \qquad \sinh(z) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} 二者有简单对称的关系： cos⁡(z)=cosh⁡(iz) ,isin⁡(z)=sinh⁡(iz)cosh⁡(z)=cos⁡(iz) ,isinh⁡(z)=sin⁡(iz) \cos(z) = \cosh(iz) \,, \qquad i\sin(z) = \sinh(iz) \\ \cosh(z) = \cos(iz) \,, \qquad i\sinh(z) = \sin(iz) 我们也可以写出其它三角函数： tan⁡(z)=−ieiz−e−izeiz+e−iz ,cot⁡(z)=ieiz+e−izeiz−e−izsec⁡(z)=2eiz+e−iz ,csc⁡(z)=2ieiz−e−iz \tan(z) = -i\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \cot(z) = i\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}} \\ \sec(z) = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}} \,, \qquad \csc(z) = \frac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}} 从指数函的解析性分析可得，三角函数在 ∞ 点以外，处处解析。 在 ∞ 点附近，情况通常与指数函数一样复杂。

　　 会有不少人认为只有实数的三角函数才是对应于几何的，复三角函数已经失去了几何上的对应，不再与角、几何有关。 这是错误的！是典型的井底之蛙视角。在复几何中，角的大小就是复数，而那些根本的几何规律，是相同的。 因此，自然就对应着复三角函数。

函数值的分析

　　 研究复函数的一个方法是将函数的实部和虚部分离。对于三角函数，我们可以通过和角公式以及与双曲函数的关系，轻松做到这一点： cos⁡(a+ib)=cos⁡(a)cos⁡(ib)−sin⁡(a)sin⁡(ib)=cos⁡(a)cosh⁡(b)−isin⁡(a)sinh⁡(b) \begin{aligned} \cos(a + ib) &= \cos(a)\cos(ib) - \sin(a)\sin(ib) \\ &= \cos(a)\cosh(b) - i\sin(a)\sinh(b) \end{aligned} sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(ib)+cos⁡(a)sin⁡(ib)=sin⁡(a)cosh⁡(b)+icos⁡(a)sinh⁡(b) \begin{aligned} \sin(a + ib) &= \sin(a)\cos(ib) + \cos(a)\sin(ib) \\ &= \sin(a)\cosh(b) + i\cos(a)\sinh(b) \end{aligned} 通过除法运算，我们又可以得到另外四个函数值。 tan⁡(a+ib)=sin⁡(a+ib)cos⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(a)+isinh⁡(b)cosh⁡(b)cos⁡(a)2cosh⁡(b)2+sin⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \tan(a + ib) &= \frac{\sin(a + ib)}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) + i\sinh(b)\cosh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} cot⁡(a+ib)=cos⁡(a+ib)sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cos⁡(a)−isinh⁡(b)cosh⁡(b)sin⁡(a)2cosh⁡(b)2+cos⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \cot(a + ib) &= \frac{\cos(a + ib)}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cos(a) - i\sinh(b)\cosh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} sec⁡(a+ib)=1cos⁡(a+ib)=cos⁡(a)cosh⁡(b)+isin⁡(a)sinh⁡(b)cos⁡(a)2cosh⁡(b)2+sin⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \sec(a + ib) &= \frac{1}{\cos(a + ib)} \\ &= \frac{\cos(a)\cosh(b) + i\sin(a)\sinh(b)}{\cos(a)^2\cosh(b)^2 + \sin(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} csc⁡(a+ib)=1sin⁡(a+ib)=sin⁡(a)cosh⁡(b)−icos⁡(a)sinh⁡(b)sin⁡(a)2cosh⁡(b)2+cos⁡(a)2sinh(b)2 \begin{aligned} \csc(a + ib) &= \frac{1}{\sin(a + ib)} \\ &= \frac{\sin(a)\cosh(b) - i\cos(a)\sinh(b)}{\sin(a)^2\cosh(b)^2 + \cos(a)^2sinh(b)^2} \end{aligned} 都能化为实三角函数与双曲函数的组合，这给我们的分析提供了便利。

常用的复角度

　　 我们会关心那些函数值为实数的三角函数。通过与双曲函数之间的关系 cos⁡(ix)=cosh⁡(x)\cos(ix) = \cosh(x)， 我们注意到：纯虚数的 cos 就对应着实数的 cosh。因此结果是个实数，并且大于等于 1，当角的绝对值越大，余弦越大， 当角的绝对值为 0 时，余弦为 1。这就有趣了，回顾上面影子的例子，正午阳光下，平放的棍子影子长度为 1 倍棍长， 倾斜一个角度 θ\theta 后，影子长度应为 cos⁡(θ)\cos(\theta)， 我们的三维空间中，角总是实数，因此那影子的长度总是减小的。倘若棍子能够以纯虚数的角度倾斜，那么影子的长度还是实数， 并且非但不收缩，反而会伸长。撬棍非但不能把缝隙撬宽，反而越撬越窄。这两个例子显然与我们的生活常识相悖。 类似的现象却真实存在于我们的世界上。它们就是钟慢与尺缩效应。

　　 我们有余弦值大于等于 1 的角，也有余弦值介于 -1 和 1 之间的角，还缺小于等于 -1 的。根据余弦的补角关系 cos⁡(z)=−cos⁡(Π2−z)\cos(z) = - \cos(\frac{\Pi}{2} - z) 可得：当角为 Π4+ib ,  b∈R\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals 时，余弦值为小于等于 -1 的实数。

　　 我们知道正弦和余弦之间有余角关系 cos⁡(z)=sin⁡(Π4−z)\cos(z) = \sin(\frac{\Pi}{4} - z)， 因此，当角的大小为 ±Π4+ib ,  b∈R\pm\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals， 正弦将为实数。

　　 通过三角函数的周期性可知，大小为 nΠ4+ib ,  b∈R ,  n∈Nn\frac{\Pi}{4} + ib \,,\; b \in \reals \,,\; n \in \natnums 的角， 其正弦或余弦为实数。这些数在复平面上为竖直等宽的平行线，与实数一起，形成了一个栅栏形状。 这个“栅栏”，就是我们时空中角的取值范围。我们不妨约定一些称呼，以便讨论。 我们将此“栅栏”的每一列冠以编号，虚轴为第 0 列，往右依次为第 1 列、第 2 列……往左依次为第 -1 列、第 -2 列…… 由于最常用的角为实轴、第 0、第 1、第 -1 以及第 2 列上的角，我们给予特殊称呼：实轴上的角，自然叫“实角”； 虚轴上的角，就叫“虚角”；第 1 列上的角，称为“余虚角”；第 -1 列上的角，称为“负余虚角”；第 2 列上的角，称为“补虚角”。 这些称谓能够极大地方便我们对一些常用结论的描述：

  • 实角的余弦和正弦介于 -1 和 1 之间；
  • 虚角的余弦大于等于 1；
  • 补虚角的余弦小于等于 -1；
  • 余虚角的正弦大于等于 1；
  • 负余虚角的正弦小于等于 -1；
  • 虚角和补虚角的正弦、正切为纯虚数，取值范围为整个虚轴；
  • 余虚角和负余虚角的余弦、正切为纯虚数，取值范围为整个虚轴；
  • 当角沿着某一列的某一方向趋向 ∞ 时，正切的极限总为 i 或 -i；
  • ……

以上这些，在时空几何中，都是非常有用的。