时空几何与四维物理－－引论

引言－－不得不说的废话

　　 相对论无疑是大众最耳熟能详的科学概念之一。 然而，尽管科普读物多如牛毛，依然无法褪去其神秘的面纱。 大众对相对论是什么却缺乏应有的基本认识，甚至误以为相对论就是说“一切都是相对的”。 而误解的源头不是别个，正是其名称：“相对论”。这是个十分不恰当的名称。 事实上，这个名称并非爱因斯坦所创，而是来源于周围的人。 而他们发明这个名称时，并不真正理解爱因斯坦的理论。 梁灿彬教授曾打趣：相对论不应该叫“相对论”，而应该叫“绝对论”。 因为相对论的基本研究方式，是忽略那些相对的东西（比如同时性，测量长度）， 而关注那些绝对的事物（譬如四维动量，固有长度）。

　　 笔者决心要弃用这个坏名称，而改用恰当的称呼。 事实上，所谓相对论，研究的是两个内容： 四维的时空（Space-Time）几何，与四维时空中的物理学。 我们不妨称祂们为“时空几何”、“四维物理”， 合称“时空几何与四维物理”，简称“时空物理”，以取代“相对论”一词。 以上为横向拆分，时空几何为基础，四维物理为上层建筑。 而纵向拆分，又可分为平直时空物理、弯曲时空物理， 即常说的“狭义相对论”、“广义相对论”。 笔者将一贯使用“时空几何”、“四维物理”、“时空物理”、“平直-”、“弯曲-”等称谓。

　　 读者或许会认为笔者总喜欢脱离主流，走偏门奇路， 或是自己生造一些未被公认的词汇， 或是选取一些与主流不同的约定（比如约定 c=i 而非主流的 c=1 ）。 是的，我承认自己有些特立独行，但只在这么做有足够好处时。 如果完全遵循前人走过的路，你也将错过前人所错过的。 我所做的不是创新，而只是从别的（笔者认为更好的）角度来审视事物。 当然，这与“民科”（指不具备基本科学素养的科学爱好者）的天马行空不同， 我们必须在角度清奇的同时，时刻保持严谨的态度。 以下是我特立独行的理由：

• “时空几何与四维物理”是比“相对论”更准确的说法，而使用这种准确称呼是避免大众误解的必由之路。
• c=1 的时空几何必须使用更加“高等”的几何来解决问题；而约定 c=i，则可用中学生都会的初等几何深刻地讨论平直时空几何。

　　 此外，我也不打算重走历史上的发现之旅。 这样的书和文章数不胜数，没有再多我这一篇的必要。 我们有一百多年的时间优势，完全可以从其它角度来思考，走不同的思路。 相信一定会有新的启发。

位置－时间图的特殊性

　　 相对性原理说运动是相对的，不，这是个误解。相对性原理只说了静止和匀速直线运动之间是相对的。 我们决不能随意外推到加速运动上。 绝对的静止是不存在的。 让我们假想这么一个场景：你生活在一个太空城，这个太空城漂浮在广袤的宇宙中，远离任何一个星系。而我的飞船与你擦肩而过。 你认为你是静止的，而我开著飞船在匀速滑行；而我却认为我并没有踩油门，是静止的，是你在匀速向后飞去。 为了避免争论不休，我们于是开始用实验来区分谁才是静止的。望远镜目前是指望不上了，我们现在远离任何星系，而星系都在运动。 微波背景辐射也被三体人或者别的甚么生物给屏蔽了。我们只好作本地实验，从台球碰撞，到粒子对撞，还包括迈克尔逊－莫雷的光干涉实验。 最终的结果都是一样的，咱俩谁也不比谁特殊，所谓静止，不过是我们主观给自己的认定。客观上，咱俩并没有静止和匀速直线运动之分。

　　 在研究事物变化时，我们常常使用一种坐标图来形象描述。以时间为自变量轴，以所研究的物理量为另一条轴。 比如温度－时间关系图、位置－时间关系图、速率－时间关系图等等。 你为了研究我飞船的运动，画起了位置－时间关系图。你也是个喜欢偶尔背离主流的人，这次选择纵坐标为时间，横坐标为位置。

　　 如图，你认为自己是静止的，图像与 t 轴重合（红色）。而我则在匀速运动，因此图像为一条斜线，由于没有加速，因此图像至少是直线（蓝色）。 你的一段红线，由于与 t 轴重合，所以代表一段时间。由于相对性原理，我们之间是平等的。那么我的一段蓝线也应该代表一段时间。 这就有趣了。一般物理量－时间图像中的斜线，是没有特定意义的。比如温度－时间图像，斜线本身段并不代表任何物理意义， 既不是一段时间，也不是一段温度。其他诸如速度－时间图像、加速度－时间图像等等，无不如此。唯有位置－时间图像（不失一般性后文称 x-t 图像），十分特殊。 另一个竖直线段与斜线段代表相同物理意义的坐标是 x-y 坐标。 另一方面，我们也可以认为，你是选取了自己运动的轨迹为 t 轴。 而若换做我画 x‘-t’ 图像，则 t’ 轴一定是沿着我的轨迹，而你的轨迹则倾斜。 而相对性原理告诉我们你的 x-t 图和我的 x’-t’ 图，是平等的。 这应该是某种坐标变换。另一个存在坐标变换的系统是 x-y 坐标。 x-t 与 x-y，二者似乎有内在的共同点。

　　 这里可引出一些疑问：竖直线和像这样的斜线代表一段时间，而水平线代表一段空间， 是否所有斜线段都代表一段时间？是否也有代表一段空间的斜线段？时间和空间的分界在哪？ 直线段与斜线段都是一段时间，那么它们之间如何比较长度？ x-t 到 x’-t’ 的变换是什么样的呢？会不会像 x-y 到 x’-y’ 的变换？ x 轴和 x’ 轴重合吗？

　　 读到此处，请读者停下来思考。先别急着思考这些问题的答案，而是先思考如何提出问题。 万事开头难，从现象中抽取规律，并提出好的问题，是科学发现的第一步。 爱因斯坦当年，便是从提出如果追著一束光飞行会怎么样开始，窥探到了时空几何的奥秘。 比起问题本身，笔者更想要分享的，是发现斜线与竖直线平等，以及由此提出这些问题的思维方式。 笔者的这些问题，你是否也有想到呢？此外，你是否还想到了更多问题？

反思空间的性质

　　 然后，我们来思考这些问题。光是盯着问题本身思考，往往很难得到答案。我们需要更开阔的视野和一些深层的洞见。 类比 x-t 与 x-y，研究其共性，应该会对我们有帮助。此外，研究时间和空间本身所具有的性质能让我们的认识更加深刻。 不要去思考“时间是甚么”这样的问题，这容易让我们陷入迷茫； 更不要随意回答这样的问题，这往往得到片面的答案，就像盲人摸象。 应该思考“时间具有什么性质”、“它与其它事物有甚么关系”这样的问题， 这才能实质性地提供建设性，并且保持不同角度看事物的可能性。 空间有什么性质？首先，它具有平移不变性：左边的一米，和右边的一米是一样的；楼上的一平方米，和楼下的一平方米是一样的。 这个平移还可以是在时间方向上：昨天的一米和今天的一米是一样的。 其次，它具有旋转不变性：东西方向的一米，和西北偏北的一米是一样的。 时间具有什么性质？它恒定流动，永不回头。永不回头这一点，在我们研究到热之前没有甚么帮助，暂时放一旁。 恒定流动，换成一个刚才用过的说法，在时间方向上平移不变性：今天的一秒和昨天的一秒是一样的。 此外，还有空间方向的平移不变性：家里的一秒和街上的一秒是一样的。 而前面，根据相对性原理，我们还发现时间还可以向空间方向倾斜，并且保持某种不变性。 倾斜，其实就是某个范围内的旋转，也许还叠加了某种程度的缩放。

　　 以上特点中有一个非常优美的性质－－“线性”。 一个方向的空间是线性的，不同方向的空间之间是线性的，时间是线性的，时间和空间之间也是线性的。 这实在是太棒了，线性，意谓着数学上的简单性，大家都喜闻乐见。 我们回忆中学所学的平面直角坐标系变换，由于空间的线性，一定可以写为：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y + \Delta x \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + \Delta y \end{cases}$

　　 Δx 和 Δy 表示两个坐标系原点的差异，如果两个坐标系原点重合，可以将它们消掉。写为：

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y \\ y' = a_{21}x + a_{22}y \end{cases}$

　　 其中， $\begin{bmatrix} a_{11}, a_{12} \\ a_{21}, a_{22} \end{bmatrix}$ 这四个参数构成一个变换矩阵，但是我们先不从这个角度思考， 而是着眼于两个坐标系的平等性。 考虑到这一点，逆变换也应当具有相同形式

$\begin{cases} x = b_{11}x' + b_{12}y' \\ y = b_{21}x' + b_{22}y' \end{cases}$

并且，若我们都用相同的长度单位，还会有： $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} = 1 \\ a_{11} = b_{11} = a_{22} = b_{22} \\ a_{12} = -b_{12}$ 否则，将破坏平等性。 （中间的数学推导从略。对于懂得线性代数的朋友，这两个结论显而易见。 不懂线性代数的朋友，也能用简单的加减乘除推导， 加上适时使用两个坐标系的平等性得到。正好作为练习。 要体会物理的美，是绕不开数学的。）

　　 为了简化，我们记 $\alpha = a_{11}$ ， $\beta = a_{12}$ 可得：

$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y \\ y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \beta y' \\ y = -\frac{\alpha^2-1}{\beta} x' + \alpha y' \end{cases}$

　　 至此，我们将八个参数简化为两个。比起 α 和 β， 我们更希望通过坐标之间的几何量作为变换式的参数。 由于两个坐标系原点的重合，又默认都是右手系， 因此它们的关系由从 x 到 x’ 的角唯一确定。 我们记这个角为 θ，需要注意，这个角是有方向的。 我们取 x’ 轴上的点 A，记其在两个坐标系下的坐标分别为 $(x_A,y_A)$ $(x_A',y_A')$ 。由于 A 点在 x’ 轴上，有： $\begin{cases} y_A' = 0 \\ \frac{y_A}{x_A} = \tan(\theta) \end{cases}$ 将其代入 $y' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} x + \alpha y$ ，并消去 A 相关的部分，可得： $\begin{cases} \frac{\alpha^2-1}{\beta} = -\alpha \tan(\theta) \\ \beta = \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} \end{cases}$ ，于是变换式又简化为： $\begin{cases} x' = \alpha x + \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y \\ y' = -\alpha \tan(\theta) x + \alpha y \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \alpha x' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha \tan(\theta)} y' \\ y = \alpha \tan(\theta) x' + \alpha y' \end{cases}$

　　 再通过角的可加性，我们可以最终确定 $\alpha = \cos(\theta)$ ，过程与本文主题无关，从略。这是我们在中学就知道的事实。 写成矩阵，就是 $\begin{bmatrix} \cos(\theta), \sin(\theta) \\ -\sin(\theta), \cos(\theta) \end{bmatrix}$ ，利用矩阵的指数和对数运算，我们还能写成更漂亮的形式 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ ，这是个重要的形式，里面蕴含关于旋转的深刻原理， 对于理解弯曲时空的黎曼曲率有很大帮助， 恰当的时候，会单独开篇讨论。

类比到时间－空间平面

　　 回顾以上，我们使用了空间坐标系的线性和平等性，得到了包含两个待定参数的了坐标变换式。 只要确定了参数，便可以研究 x-y 平面上的各种问题。 同样地，我们也希望找到 x-t 到 x’-t’ 的变换。 根据线性，我们同样可以写出： $\begin{cases} t' = a_{00}t + a_{01}x + \Delta t \\ x' = a_{10}t + a_{11}x + \Delta x \end{cases}$ 同样，我们可以让坐标原点重合消去 Δt 和 Δx，具体操作就是以我们相互飞过时作为时间的 0 点， 交汇点为空间原点（当然，为了简化，我们把咱俩都看作是质点，并相互无限接近地飞过）。 再根据相对性原理，我们也能得到时空坐标的平等性。于是可同样简化为： $\begin{cases} t' = \alpha t + \beta x \\ x' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} t + \alpha x \end{cases}$

接着，我们也能在 t’ 轴上取一点 A，坐标分别为 $(t_A,x_A)$ $(t_A',x_A')$ 。由于 A 点在 t’ 轴上，有： $\begin{cases} x_A' = 0 \\ \frac{x_A}{t_A} = v \end{cases}$ 。其中 v 为 x’-t’ 系相对于 x-t 系的速度。 和空间的情形完全一致，只是 tan(θ) 换成了 v。通过相同的步骤，我们可将变换式简化为： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases} \qquad \begin{cases} t = \alpha t' - \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x' \\ x = \alpha v t' + \alpha x' \end{cases}$

当我们局限于视野

　　 然后，我们需要做的，就是确定参数 α。 线性和相对性原理，只能带我们走到这里。 我们需要更多的基本原理－－或者说“公设”－－才能继续。 以我们的日常生活经验，和实验室中能进行的力学实验，应当有： $x' = x - v t$ 通过取 $\alpha = 1$ 便可做到这一点。 代入变换式得： $\begin{cases} t' = t + 0 x \\ x' = - v t + x \end{cases}$ 这便是伽利略变换，在很高的精度下正确。 谁也没有见过谁的表运动著，就变快或变慢了，谁也没有见过什么东西运动著，长度就变了。

　　 现在，我们可以来回答之前那些问题了： 竖直线段和斜线段都代表一段时间，只有水平（至少要非常接近水平）的线段才代表一段空间。 时间与空间的分界就在于是否是水平（非常接近水平）的。 对于一个时间段，只要分别沿着其两个端点作水平线，两条水平线之间的距离即时间长度（偏差非常小）。 x-t 到 x’-t’ 的变换与 x-y 到 x’-y’ 的变换不同，参数（几乎）是常量而非变量。 它像一种斜切变换，而不像转动，因为 x 轴始终（几乎）不动。 x 轴和 x’ 轴（几乎）是重合的。 由于经验所确定的参数并不能精确地确定为 1 和 0，我们还不能把话说死，需要括号里那些有所保留的话。 如果这组参数是精确的，即伽利略变换精确成立。那么，我们将得到一幅十分怪诞的几何图景。 没有转动，而是斜切变换。水平方向和其它方向如此不同，而且是跳跃式的变化，只要稍稍有那么一点倾斜，立即从空间变为时间， 而且其长度与原来的空间长度毫无关系。虽与我们的世界的情形十分吻合，图景本身却毫无美感可言。 比起 $\Large{e}^{ \small \begin{bmatrix} 0, \theta \\ -\theta, 0 \end{bmatrix} }$ 这样优美的矩阵， $\begin{bmatrix} 1, v \\ 0, 1 \end{bmatrix}$ 就显得十分突兀，有某种无穷大在其中。 宇宙真的是这样丑陋的吗？ （看问题的角度不同，审美也会不同。 牛顿和十九世纪的开尔文勋爵可不认为这丑陋。 亦或许是因为他们的年代早于爱因斯坦， 还没有机会体会真正美丽的时空几何。）

电磁场搅局，打开新的视野

　　 伽利略变换在很高的精度下正确，无论是我们的日常生活， 还是实验室中的各种力学实验，全都精确符合。 可偏偏有一种物质，完全不符合此变换。这个怪胎就是电磁场。 它遵循麦克斯韦方程组，那是四个优雅的方程，与伽利略变换水火不容。 一定有一个是错的，至少是不准确的。 从十九世纪末到二十世纪初的物理学家们，大都选择修改电磁场理论。 为此，他们引入以太来代替真空作为电磁场的介质。 然而，一切实验都证明了以太是莫须有的。 修改麦克斯韦理论的尝试，是失败的。看起来，只能修改伽利略变换了。 洛伦茨是第一个吃螃蟹的。他提出了著名的洛伦茨变换。 可是，他显然不知道他的变换意谓着什么。 这其中深刻的道理，还要等爱因斯坦和闵可夫斯基来解读。

　　 站在马后炮视角，我们看问题可就明朗多了。 麦克斯韦方程组，十分优美；而伽利略变换，则是丑陋的。 只要是按照我们上一节的思路得到伽利略变换， 我们就一定会首先想到修改伽利略变换，而非麦克斯韦理论。 我们得到伽利略变换的最后一步，是确定变换式的两个参数。 这一步，是根据片面的实验（力学实验，而无电磁学实验）所得。 我们不妨抛弃这里的公设，重新确定两个参数。 这也是对伽利略变换的最小化修改，我们保留了时空的线性（万幸万幸）， 以及相对性原理。

　　 笔者不打算在这里讲麦克斯韦方程组，和一般的电磁场，那样需要太多篇幅。 这里，只取用真空中电磁波的速率为恒定值 c 这一个推论。如果时空变换与麦克斯韦方程组兼容， 那也必然与这个推论相容。我们可先用此推论找出变换，再回头验证麦克斯韦方程组（这也是当年爱因斯坦的做法）。 约定俗成，我们称 c 为光速（不加说明，“光速”一律指真空光速，介质中光传播的速率必须有“某某介质中的”定语，不可简称“光速”）。 根据相对性原理，所有的惯性系下，应当遵循同一个麦克斯韦方程组，于是也就有同一个光速。 光，是一种电磁波，不失一般性，我们就以光来进行讨论。

　　 我们回到参数确定之前： $\begin{cases} t' = \alpha t + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} x \\ x' = -\alpha v t + \alpha x \end{cases}$ 如果有一束光，在时空原点向前发射。在你的参考系下，经过了 τ 时间，应到达 cτ 位置。 假设在我的参考系，是经过了 τ‘ 时间，那么也应到达 cτ’ 位置。代入变换可得： $\begin{cases} \tau' = \alpha \tau + \frac{1-\alpha^2}{\alpha v} c \tau \\ c \tau' = -\alpha v \tau + \alpha c \tau \end{cases}$ $\begin{cases} c \tau' = \alpha c \tau + \beta \tau \\ \tau' = \frac{\alpha^2-1}{\beta} c \tau + \alpha \tau \end{cases}$ 同时消去 τ 与 τ’，加上 α 取正数，我们得到 $\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ ，代入变换式得： $\begin{cases} t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t - \frac{v}{c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \\ x' = - \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} x \end{cases}$ 这便是洛伦茨变换。乍看之下，完全体现不出任何美感。问题在于我们选了速率作为参数。 速率是伽利略变换下的好参数，在伽利略变换下，速度具有可加性。 在洛伦茨变换下，则不然。可加性丢失了，意谓着它不再是一个好的参数。 对比我们推导空间变换和时空变换的过程。空间变换中，我们使用角 θ 作为参数，过程中有个关键的 $\tan(\theta)$ 而到了时空变换中，我们将 $\tan(\theta)$ 换成了 v。若我们在空间变换中也使用 v 代替 $\tan(\theta)$ 会如何呢？我们会得到： $\begin{cases} x' = \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} y \\ y' = - \frac{v}{\sqrt{1 + v^2}} x + \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} y \end{cases}$ 是不是像极了洛伦茨变换？若使 $c^2 = -1$ ，二者将完全一致。我们仿造空间中的角，定义时空角，将 v 换为 $\tan(\varphi)$ 。

这样，洛伦茨变换竟被我们化简为： $\begin{cases} t' = \cos(\varphi) t + \sin(\varphi) x \\ x' = - \sin(\varphi) t + \cos(\varphi) x \end{cases}$ 我们发现：时间与空间满足同一个几何学。如此完美！

有虚数的世界

　　 需要指出，以上得到的熟悉的变换式，并不像表面上看起来那么熟悉。因为选取 $c^2 = -1$ ，势必要引入复数。我们不妨取 $c = i$ ，无量纲。这意谓着我们将时间和空间的量纲进行了统一，并定义了时间单位和空间单位的换算关系。 具体地，有： $1 光年 = i 年 \\ 1 s \approx -3.0i \times 10^8 m \\ ...$ 。我们看到时间与空间一虚一实，若使用时间单位，则空间为虚数，若使用空间为单位，则时间为虚数。 正切值，也就是速率，为实数与虚数之比，为虚数。于是，时空角通常也为虚数。 因此，三角函数也不再是熟悉的实变三角函数，而是复变三角函数。会有 $\cos(\varphi) > 1$ ， $\sin(\varphi)$ 和 $\tan(\varphi)$ 为虚数，失去周期性（准确地说，是在我们关注的方向上没有周期性）等等。 这个既熟悉有陌生的变换式，将会为我们开启一个既熟悉又陌生的几何世界。 后面的篇章，将带来复变三角函数的充电宝。待充电完毕，我们来游览这个有趣的几何世界。

　　 物理学家常常定义一个常数为无量纲数，来统一不同的量纲。 比如定义波尔茨曼常数为 1 以统一温度与能量的量纲等等。 主流做法是定义 c = 1，实际上是等价的，所有实在的结论都没有任何不同。 但那样的几何图景，远不如 c = i 来得简洁优美。 依我看，选择 c = 1 的人除了从众以外，就是为了避开虚数。 但他们避开了虚数坐标，却避不开虚数的线元和角度。 拿到了负数的线元，他们不敢开方。甚至完全避开角度不谈， 或只谈纯虚数角度的虚部（是个实数，被命名为快度）。 对实实在在的事物视而不见，看到的世界便不完整。 让我们拥抱复数，拥抱完整的世界。